Para resolver o problema, precisamos determinar o volume do sólido que está dentro da esfera \(x^2 + y^2 + z^2 = 25\) e fora do cilindro \(x^2 + y^2 = 9\), limitado ao primeiro octante. 1. Identificação das superfícies: - A esfera tem raio \(R = 5\) (pois \(25 = 5^2\)). - O cilindro tem raio \(r = 3\) (pois \(9 = 3^2\)). 2. Coordenadas polares: - Em coordenadas polares, temos \(x = r\cos(\theta)\) e \(y = r\sen(\theta)\). - O volume em coordenadas polares é dado por: \[ V = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_3^5 \int_0^{\sqrt{25 - r^2}} r \, dz \, dr \, d\theta \] 3. Cálculo da integral: - A integral em relação a \(z\) é simples: \[ \int_0^{\sqrt{25 - r^2}} dz = \sqrt{25 - r^2} \] - Portanto, o volume se torna: \[ V = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_3^5 r \sqrt{25 - r^2} \, dr \, d\theta \] 4. Cálculo da integral em \(r\): - Para calcular \(\int_3^5 r \sqrt{25 - r^2} \, dr\), podemos usar a substituição \(u = 25 - r^2\), o que nos dá \(du = -2r \, dr\). - Os limites de integração mudam de \(r = 3\) para \(u = 16\) e de \(r = 5\) para \(u = 0\). - A integral se torna: \[ -\frac{1}{2} \int_{16}^{0} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \int_0^{16} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \bigg|_0^{16} = \frac{1}{3} (64) = \frac{64}{3} \] 5. Cálculo final: - Agora, multiplicamos pelo intervalo de \(\theta\): \[ V = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{64}{3} \, d\theta = \frac{64}{3} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{32\pi}{3} \] Portanto, a alternativa correta é: D ( V = \dfrac{32\pi}{3} ) u.v.