Séries de Fourier e PVC

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UFRGS - Instituto de Matemática e Estatística 1 2 3 4 Total MAT01167 Equações Diferenciais II 2025/2 - Turma A1 Prova 3 Nome: Cartão: Em cada questão, mostre todos cálculos necessários e justifique suas respostas. Questão 1. (2,5 pontos) Obtenha 0 desenvolvimento em série de Fourier-seno da função: f(x) = 3x, para 0 ≤ x ≤ L=7 8 f (x) = bn sen 7 bn = 2 7 7 f(x) sen 7 dx n=1 = 2 7 sen 7 dx = 7 6 0 7 7 dx = 7 6 ( 7 cos 7 7 + 7 7 cos 7 dx ) = 6 7 ( 49 cos + 49 sen 7 3 ) = 42 = 42 (-1) f(x) = = 42 00 n sen 7 n=1Questão 2. (3 pontos) Resolva 0 seguinte problema de valores de contorno pelo método de separação de variáveis Uxx u(7,t) = 0 u(x,0) 3x usando que (1) O problema de valores de contorno tem solução não trivial apenas quando = nπx para n e as soluções são = sen 7 (2) A EDO + 49 = 0 tem solução geral = (3) Coeficientes que já tenham sido calculados na Questão 1 NÃO precisam ser calculados novamente. Separação de variáveis: = Derivando e substituindo na EDP: = = = (constante) =0 4(t) de contorno: = = = Portanto φ(x) do problema valores de contor- no em (1), que tem solução não trivial para - ) 49 substituindo esses valores de na EDO para 4(t), temos Y'+ Y com geral = Bne 49 = = Bne sen Pelo da u(x,t) = Bne sen 7 n=1 Da condicao inicial, 8 temos = 3x = 5 Bn sen + os caficientes n=1 Bn sao os ntes da de Fourier logo seno de f(x) = calculados 8 Bn = 42 = 42 n 7 n=1UFRGS Instituto de Matemática e Estatística 1 2 3 4 Total MAT01167 Equações Diferenciais II 2025/2 - Turma A1 Prova 3 Nome: Cartão: Em cada questão, mostre todos os cálculos necessários e justifique suas respostas. Questão 1. (2,5 pontos) Obtenha desenvolvimento em série de Fourier-seno da função: f(x) = 2x, para ≤ ≤ L=5 bn = 2 5 5 dx n=1 = 2 5 5 2x sen 5 dx = 5 5 0 sen 5 dx = = 4 5 ( 5 5 5 + So 5 nTT 5 dx ) = 5 4 25 cos + 25 sen 5 ) = 20 (-1) = 20 (-1) Portanto, 2X 20 (-1) sen f(x) = = n π n=1Questão 2. (3 pontos) Resolva seguinte problema de valores de contorno pelo método de separação de variáveis = Uxx u(0,t) u(5,t) 0 usando que (1) O problema de valores de contorno { tem solução não trivial apenas quando = para n = 1,2,3, e as soluções são (x) = Aₙ sen (2) A EDO + n²π² 25 0 tem solução geral (t) = (3) Coeficientes que já tenham sido calculados na Questão 1 NÃO precisam ser calculados novamente. de variáveis: u(x,t) = Derivando e substituindo na EDP: = = 4"(x) = (constante) P(O) de contorno: = u(5,t) = = 0 4(5) é do PVC dado em (1), que terr trivial para 1= 25 = Agora, substituindo esses valores de 1 ra para 4(t), temos 25 com solução geral = Bne 25 Portanto, = = Bne sen Pelo da u(x,t) = Bne sen 5 n=1 Da condição inicial, = = Bn sen 5 os colficientes n=1 Bn os colficientes da série de logo Fourier- seno de f(x)= 2x na questão 1. Bn = 20 nH 20 (-1) u(x,t) e sen = n 5UFRGS - Instituto de Matemática e Estatística 1234 Total MAT01167 Equações Diferenciais II 2025/2 - Turma A1 Prova 3 Nome: Cartão: Em cada questão, mostre todos os cálculos necessários e justifique suas respostas. Questão 1. (2,5 pontos) Obtenha 0 desenvolvimento em série de Fourier-seno da função: = 4x, para ≤ ≤ L=3 f(x) = sen 3 ) n=1 = 2 3 3 sen 3 dx = 8 3 3 sen 3 dx = ] = 8 3 cos + Sen 3 3 ) 24 24 = = Portanto, 8 (-1) 24 sen 3 ) = nQuestão 2. (3 pontos) Resolva 0 seguinte problema de valores de contorno pelo método de separação de variáveis = Uxx u(0,t) = u(3,t) = 0 u(x,0) = 4x usando que (1) O problema de valores de contorno { tem solução não trivial apenas quando = e as soluções são (x) = sen 3 (2) A EDO = 0 tem solução geral (t) = (3) Coeficientes que já tenham sido calculados na Questão 1 NÃO precisam ser calculados novamente. Separação de variáveis: u(x,t) = Derivando e substituindo ra EDP: = = = (constante) = condições de contorno: u(0,t) = 4(0) =0 410)=0 u(3,t) = 4(3)=0 Portanto e' do PVC em (1), que tem solução tri vial d= g n= 1,2,3, Agora, uses de na EDO para 4(t), temos + =0, com solução geral = Bne Portanto, un(xit) = Bne sen 3 Pelo princípio da superposição, u(x,t) = n=1 sen 3 Da 80 inicial, temos = 4X = Σ Bn sen 3' logo os n=1 Bn colficientes da serie de seno de f(x) = 4X calculados na Bn = 24 u(x,t) = 24 n+1 e sen n=1 n 3Questão 3. (2,5 pontos) Encontre OS valores de para OS quais 0 problema de valor de contorno abaixo tem soluções não triviais e exiba essas soluções. + = 0, = 0 Equação raizes = Se raizes complexas 1 sol. geral da ELO: y= + y'= = - + cond. de contorno: = = sen =0 now trivial se VI= n para = 2 Se raiz real dupla r=0 y= y' = C1 de contorno: = C₁ = = trivial (constante) y= para 3 Se raizes reals distintas sol. y= y' = cond de = y'(π) = e =0 = ou Mas se e -e =0, e = 1 e -e =0. que impossivel. Portanto tem trivial nesse = com =0,1,2, ) e as e tern não trivial saw para y =Questão 3. (2,5 pontos) Encontre OS valores de para OS quais 0 problema de valor de contorno abaixo tem soluções não triviais e exiba essas soluções. = 0, = Equacao raizes r= = ± 1 Se 1>0, entao as raizes complexas r= geral da EDO: y(x) = + y'(x) = + de contorno: = 0 = y = =0 cos =0 sol. trivial =0 = 2n+1 = = 2 n= 0,1,2, = n=0,1,2, 2 Se então as raizes iguais (raiz dupla igual a zero) geral y(x) = + C2X g'(x) = Apenas de = = trivial. = = 3 Se então as raizes reais e geral da EDO: y(x) = c₁e + y'(x) = - Cond. de contorno: = = = = + = cale te >0 = C₂ Apenas solução trivial Os valores de as quais problema tem não tri vial 2 para = l as soluções y= 2Questão 3. (2,5 pontos) Encontre OS valores de para OS quais 0 problema de valor de contorno abaixo tem soluções não triviais e exiba essas soluções. = = 0, II 0 Equação raizes 1 Se as saw complexas r= geral da EDO; y= = + y' + condições de contorno: = = + C₁ = =0 = não trivial se = I' = 0,1,2 2 raiz dupla r=0 Sol. geral da EDO: y= + C2 y' = de = =0 Apenas solução y' = = trivial 3 r= sol. geral da EDO: y= + y' = - cond. = 0 = + C2 = = = (e +e >0 = Apenas solução trivial Portanto, problema tem solucao não trivial para = com n=0,1,2, ) e as y = 2 n=0,1,2,Questão 4. (2 pontos) Dado problema de Dirichlet no setor circular: em D : rQuestão 4. (2 pontos) Dado 0 problema de Dirichlet no setor circular semi-infinito r em D 2Questão 4. (2 pontos) Dado 0 problema de Dirichlet no setor circular: em nos lados π 2 D = na solução pelo método de separação de variáveis consideramos u(r, = Obtenha 0 problema de valores de contorno do qual é solução e a EDO da qual é solução. Derivando = e as na temos =0 = Y e Das de contorno, 4(0)=0 Portanto e' do PVC e 4(r) solução da EDOQuestão 4. (2 pontos) Dado problema de Dirichlet no semi-círculo V V V se π 2