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Cálculo Numérico 
Lista 02 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Cálculo Numérico 
Aluno: Mac Myller da Silva Carlos, Francisco das Chagas B. da Silva, Anderson Souza Lourenço 
Professor: David Carneiro de Souza 
Parte I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parte II 
 
Q1: 
R: 
{w1, w2, ..., wn} é uma base de W, e que V é perpendicular a W. Isso significa que para qualquer 
vetor w em W, temos que V · w = 0, onde · denota o produto escalar. considerando uma combinação 
linear arbitrária c1w1 + c2w2 + ... + cnwn e mostrando que V é perpendicular a ela. Para fazer isso, 
usamos a propriedade distributiva do produto escalar para escrever: 
 
V · (c1w1 + c2w2 + ... + cnwn) = c1(V · w1) + c2(V · w2) + ... + cn(V · wn) 
Como V é perpendicular a cada vetor da base, cada termo da soma é zero, o que implica que a soma 
inteira é zero. Isso prova que V é perpendicular a qualquer combinação linear dos vetores da base e, 
portanto, a todo vetor em W. 
 
Q2: 
R: 
Ao trocar as variáveis de integração (t) para (s), temos: 
<g, f> = ∫-1(limite inferior) e 1(limite superior) (g(s) * f(s) * ds) 
Comparando as duas expressões, vemos que são idênticas. Portanto, <f, g> = <g, f> 
 
<af + bg, h> = ∫-1(limite inferior) e 1(limite superior) ((af(t) + bg(t)) * h(t) * dt) 
= ∫-1(limite inferior) e 1(limite superior) (af(t) * h(t) + bg(t) * h(t) * dt) 
= a * ∫-1(limite inferior) e 1(limite superior) (f(t) * h(t) * dt) + b * ∫-1(limite inferior) e 1(limite 
superior) (g(t) * h(t) * dt) 
= a<f, h> + b<g, h> 
Provando a linearidade 
 
Uma vez que f(t) * f(t) é sempre não negativo, a integral de f(t) * f(t) também é não negativa. 
Portanto, <f, f> ≥ 0. Se <f, f> = 0, então a integral de f(t) * f(t) deve ser zero. No entanto, a única 
maneira de a integral ser zero é se f(t) = 0 para todo t no intervalo [-1, 1]. Portanto, <f, f> = 0 se e 
somente se f(t) = 0 para todo t, o que implica que f é a função nula. 
Logo, define um produto interno no espaço das funções contínuas C[-1, 1]. 
 
Q3: 
R: 
Para B1, supondo que existem coeficientes a, b, c tais que: 
a * 5 + b * (x - 1) + c * (x² - 3x) = 0 
Isso implica no seguinte sistema de equações: 
5a + bx - b + cx² - 3cx = 0 
cx² + (b - 3c)x + (5a - b) = 0 
Portanto, os coeficientes a, b, c são todos iguais a zero, o que mostra que B1 é um conjunto 
linearmente independente. 
 
Para B2, supondo que existem coeficientes d, e, f tais que: 
d * 8 + e * (3x + 2) + f * (5x² - 3x) = 0 
Isso implica no seguinte sistema de equações: 
8d + 3ex + 2e + 5fx² - 3fx = 0 
5fx² + (3e - 3f)x + (8d + 2e) = 0 
Portanto, os coeficientes d, e, f são todos iguais a zero, o que mostra que B2 é um conjunto 
linearmente independente. 
 
Para B1: 
p(x) = ax² + bx + c = 5 * (a/5) + (x - 1) * b + (x² - 3x) * c 
= a * 5 + b * (x - 1) + c * (x² - 3x) 
Portanto, para expressar p(x) em termos de B1, os coeficientes d, e, f são d = a/5, e = b e f = c. 
 
Para B2: 
p(x) = ax² + bx + c = 8 * (a/8) + (3x + 2) * b + (5x² - 3x) * c 
= a * 8 + b * (3x + 2) + c * (5x² - 3x) 
Portanto, para expressar p(x) em termos de B2, os coeficientes d, e, f são d = a/8, e = b e f = c. 
 
Logo, qualquer polinômio de grau 2 pode ser expresso como uma combinação linear dos elementos 
de B1 e B2. 
 
Calculando as coordenadas para p(x) = 3x² + x + 36: 
Em relação a B1: 
p(x) = 3x² + x + 36 = 0 * 5 + 1 * (x - 1) + 3 * (x² - 3x) 
= 1 * (x - 1) + 3 * (x² - 3x) 
Portanto, as coordenadas de p(x) em relação a B1 são (1, 3, 0). 
 
Em relação a B2: 
p(x) = 3x² + x + 36 = 0 * 8 + 1 * (3x + 2) + 3 * (5x² - 3x) 
= 1 * (3x + 2) + 3 * (5x² - 3x) 
Portanto, as coordenadas de p(x) em relação a B2 são (2, 3, 0). 
 
Q4: 
R: 
dV/dt = -α4πr(t)² 
dV = -α4πr² dt 
d²V/dt² = -α4π(2r dr/dt) 
d²V/dt² = -2α4πr(dr/dt) 
Logo, a taxa de variação do volume em relação ao tempo é proporcional à taxa de variação do raio 
em relação ao tempo. 
Essa relação indica que, à medida que o tempo passa, o raio da naftalina diminui linearmente. 
 
Q5: 
R: 
A equação geral de uma reta = y=mx+c, onde m é o coeficiente angular da reta e c é o coeficiente 
linear da reta. 
Seja ŷ o valor previsto para y dado um valor x: 
ŷ = mx + c 
S = (y1 - ŷ1)² + (y2 - ŷ2)² 
Substituindo ŷ1 = mx1+c e ŷ2 = mx2+c: 
S = (y1 - (mx1 + c))² + (y2 - (mx2 + c))² 
 
S em relação a m: 
dS/dm = -2x1(y1 - (mx1 + c)) - 2x2(y2 - (mx2 + c)) 
S em relação a c: 
dS/dc = -2(y1 - (mx1 + c)) - 2(y2 - (mx2 + c)) 
 
Igualando as derivadas a zero: 
-2x1(y1 - (mx1 + c)) - 2x2(y2 - (mx2 + c)) = 0 
-2(y1 - (mx1 + c)) - 2(y2 - (mx2 + c)) = 0 
 
Simplificando: 
x1(y1 - mx1 - c) + x2(y2 - mx2 - c) = 0 
(y1 - mx1 - c) + (y2 - mx2 - c) = 0 
 
Temos: 
m = (x1y1 - x2y2) / (x1² - x2²) 
c = (x1²y2 - x2²y1) / (x1² - x2²) 
Logo, a função que melhor se ajusta aos pontos pelo método da regressão linear coincide com a 
equação da reta que passa por esses pontos. 
 
Q6: 
R: 
Reescrevendo: 
0 = a(-1) + b 
-1 = a(0) + b 
0 = a(1) + b 
7 = a(2) + b 
 
|1 -1| |a| = |0 | 
|0 1| x|b| = |-1| 
|1 1| | | = |0 | 
|2 1| | | = |7 | 
 
Substituindo os valores na fórmula, temos: 
| a | | (4 -2) * (4 -2)^(-1) * (-2 -2) | | (0 -2 -1 1)^T | 
| b | = | | * | | 
 
pseudo-inversa de X, temos: 
(4 -2)^(-1) = (1/8) * | -2 2 | 
| 1 -2 | 
| a | | (1/8) * (-2 -2) | | (0 -2 -1 1)^T | 
| b | = | | * | | 
 
| a | | (1/8) * (-4) | | -2 | 
| b | = | | * | -1 | 
 
Simplificando, obtemos: 
| a | | -1/2 | 
| b | = | | 
 
Logo, a função que melhor ajusta os pontos pelo método dos mínimos quadrados para um 
polinômio de grau 1 é: 
y = (-1/2)x -1/2. 
 
polinômio de grau 2, na forma y = ax^2 + bx + c. Seguindo o mesmo processo, obtemos as equações: 
0 = a(-1)^2 + b(-1) + c 
-1 = a(0)^2 + b(0) + c 
0 = a(1)^2 + b(1) + c 
7 = a(2)^2 + b(2) + c 
 
Forma matricial: 
| 1 -1 1 | | a | | 0 | 
| 0 0 1 | x| b | = | -1 | 
| 1 1 1 | | | | 0 | 
| 4 2 1 | | | | 7 | 
 
| a | | (4 -2) * (4 -2)^(-1) * (-2 -2 -1 -1) | | (0 -1 0 7)^T | 
| b | = | | * | | 
 
(4 -2)^(-1) = (1/8) * | -2 2 1 1 | 
| 1 -2 1 -2 | 
| 3 -2 -1 -1 | 
| 6 2 1 1 | 
 
| a | | (1/8) * (-4 4 2 2) | | (0 -1 0 7)^T | 
| b | = | | * | | 
 
| a | | -1/2 | 
| b | = | | 
 
Logo, a função que melhor ajusta os pontos pelo método dos mínimos quadrados para um 
polinômio de grau 2 é: 
y = (-1/2)x - 1/2. 
 
Q7: 
R: 
7.6: 
X = [-2, -1, 0, 1, 2] h1 = [1, 1, 1, 1, 1] 
Y = [0, 0, -1, 0, 7] h2 = [-2, -1, 0, 1, 2] 
[
5 0
0 10
]*[
𝑐1
𝑐2
]=[
6
14
] 
Resolvendo o sistema acima, temos como resultado: 
c1 = 
6
5
 , c2 = 
7
5
 
Logo, y = 
7
5
 x + 
6
5
 
7.7: 
X = [-3, -1, 1, 2, 3] h1 = [1, 1, 1, 1, 1] 
Y = [-1, 0, 1, 1, -1] h2 = [-3, -1, 1, 2, 3] 
 h3 = [9, 1, 1, 4, 9] 
[
5 2 24
2 24 8
24 8 180
]*[
𝑐1
𝑐2
𝑐3
]=[
0
3
−13
] 
Resolvendo o sistema acima, temos como resultado: 
c1 = 
121
134
 , c2 = 
31
268
 , c3 = 
53
268
 
Logo, y = −
53
268
 x² + 
31
268
 x + 
121
134
 
7.20: 
g1(-2) = 4ª -2b = 1 e g2(-2) = c + d = -2 
g1(1) = a + b = 1 e g2(1) = 4c + d = 9 
 
Com isso temos para g1: 
a=1 e b= 3/2 
E para g2: 
c=4 e d= -7 
Com isso: 
4a – 2b = 7 a= -1/2 
a – b = 4 b= -9/2 
Ficando: 
g1(x) = x² + 3/2*x e g2(x) = 4x² - 7 
O g1(x) se ajusta melhor pois sua função é positiva 
 
7.2: 
A) 
[4.91581166, 5.31172705, 5.77734268, 6.01907971, 6.20273793] 
[0.32812052, 4.66097825] 
a= 105.73947127801338 b = 0.32812051872368425 
Equação da regressão exponencial: y = 105.74 * e^(0.33x). 
B) 
Para x = 2008, a previsão de y é 709.16 
Para x = 2010, a previsão de y é 757.26 
 
Q8: 
R: 
A) 
a) 
 
 
 
 
b) 
X² x Y Y² xy 
274021 1567 46764 646 113103 
 
Y = 0,52757x – 20,078 
Convertendo para metros: 
Y = 52,76x – 20,078 
 
c) 
Y = 52,76*(1,75) – 20,078 
Y = 72,24Um funcionário com 80kg tem aproximadamente 1,89m 
 
d) 
Y = 52,76*(x) – 20,078 
 = 
X = y+ (20,078 / 0,52757), X sendo altura e Y sendo peso. 
 
e) 
1,75 = y+ (20,078/0,52757) 
Y = 72,24 
 
f) 
 
 
 
 
 
B) 
a) 
A questão nos fornece a função linearizada 1/y 
Dada essa função obtemos uma nova tabela de dados: 
-8 -6 -4 -2 0 2 4 
0,033 0,1 0,111 0,1667 0,2 0,25 0,25 
 
Fazendo o gráfico: 
 
 
h1 = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] 
h2 = [-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4] 
Y = [0.033, 0.1, 0.111, 0.1667, 0.2, 0.25, 0.25] 
Logo, a aproximação é viável, dada pela função: 
Y ~= 1 / (0,1958 + 0,0185x) 
 
b) 
Agora para a função y = a*(b^x) 
-8 -6 -4 -2 0 2 4 
3,4012 2,303 2,197 1,791 1,609 1,386 1,386 
 
h1 = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] 
h2 = [-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4] 
Y = [3.4012, 2.303, 2.197, 1.791, 1.609, 1.386, 1.386] 
Logo, a aproximação é dada pela função: 
Y ~= 5,5199 * (0,8597)^x 
 
c) 
A primeira função é mais linearizada, logo, garante uma melhor aproximação. 
Q9: 
R: 
a) 
Ao observar os dados fornecidos, percebemos que o número de bactérias está aumentando 
rapidamente ao longo do tempo. À medida que as horas aumentam, o número de bactérias 
também aumenta significativamente. Isso indica um crescimento acelerado e sugere que o 
modelo mais apropriado para descrever esse comportamento é uma função exponencial. 
b) 
h1 = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 1] 
h2 = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6] 
Y = [3.466, 3.850, 4.174, 4.522, 4.883, 5.247, 5.617] 
Logo, a aproximação é dada pela função: 
Y ~= 1,9438 * (1,60)^x 
Q10: 
R: 
Integrando as funções da base {1, x, x^2} multiplicadas por f(x) = sen(𝜋) * x no intervalo [0, 1]: 
∫(1 * sen(𝜋) * x) dx = (-1/𝜋) * (x * cos(𝜋)) |_0^1 = (-1/𝜋) * (1 * cos(𝜋) - 0 * cos(0)) = (-1/𝜋) * cos(𝜋) = 
(-1/𝜋) * (-1) = 1/𝜋 
∫(x * sen(𝜋) * x) dx = (-1/𝜋) * (x^2 * cos(𝜋)) / 2 |_0^1 = (-1/𝜋) * ((1^2 * cos(𝜋)) / 2 - (0^2 * cos(0)) / 2) 
= (-1/𝜋) * (1 * cos(𝜋) / 2) = -1/(2𝜋) * cos(𝜋) 
∫(x^2 * sen(𝜋) * x) dx = (-1/𝜋) * (x^3 * cos(𝜋)) / 3 |_0^1 = (-1/𝜋) * ((1^3 * cos(𝜋)) / 3 - (0^3 * cos(0)) / 
3) = (-1/𝜋) * (1 * cos(𝜋) / 3) = -1/(3𝜋) * cos(𝜋) 
 
Utilizando a função aproximada �̂�(x) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥^2 e as integrais calculadas, podemos montar 
o sistema de equações: 
1/𝜋 = 𝑎0 + 𝑎1(1) + 𝑎2(1^2) --> 1/𝜋 = 𝑎0 + 𝑎1 + 𝑎2 (Equação 1) 
-1/(2𝜋) * cos(𝜋) = 𝑎0 + 𝑎1(1/2) + 𝑎2(1/2)^2 --> -1/(2𝜋) * cos(𝜋) = 𝑎0 + (1/2)𝑎1 + (1/4)𝑎2 (Equação 2) 
-1/(3𝜋) * cos(𝜋) = 𝑎0 + 𝑎1(1/3) + 𝑎2(1/3)^2 --> -1/(3𝜋) * cos(𝜋) = 𝑎0 + (1/3)𝑎1 + (1/9)𝑎2 (Equação 3) 
 
Portanto, a aproximação de mínimos quadrados da função f(x) = sen(𝜋) * x no intervalo [0, 1] por um 
polinômio da forma 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥^2 é: 
�̂�(x) = (-36/𝜋) + (15/𝜋 * cos(𝜋)) + (18/𝜋)𝑥 + (2/𝜋 * cos(𝜋))𝑥^2 + (-18/𝜋)𝑥^2 + (8/𝜋 * cos(𝜋))𝑥^2