Unidade 4

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FUNÇÕES POLINOMIAIS DE VARIÁVEL
REAL
CAPÍTULO 4 - COMO O ESTUDO DE DERIVADAS E
SUAS APLICAÇÕES PODEM OTIMIZAR AS
SITUAÇÕES-PROBLEMAS?
Catiúscia Albuquerque Benevente Borges
INICIAR
Introdução
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O Cálculo é uma ferramenta que nos ajuda a entender como as relações funcionais variam, tais como posição e
velocidade de um objeto em movimento em função do tempo ou o coeficiente angular de uma curva sendo
percorrida por um ponto. Essa ideia de variação está presente na história da humanidade há tempos, mesmo
antes do conceito de função existir. Nos trabalhos de Galileu e Descartes, é possível notar a variação em função
do tempo, embora Descartes tenha excluído esta ideia da Geometria, Galileu apresenta certa noção de função,
no sentido de uma associação entre duas variáveis, dada por uma lei de variação que é encarada como um
objeto matemático.
Hoje o estudo do Cálculo é considerado um dos conteúdos matemáticos mais importantes no ramo científico,
pois além de poder ser empregado em diversas áreas do conhecimento, como Física, Engenharia, Economia,
Administração, atua diretamente no desenvolvimento de novas tecnologias. Com o olhar um pouco mais crítico é
possível encontrar as relações estabelecidas nos cálculos em matérias de jornais, em informações estatísticas,
nas informações do nosso cotidiano.
Neste capítulo, vamos estudar taxa de variação, ampliando a ideia que encontramos nos estudos de função do
primeiro grau, indo de taxa de variação média à taxa de variação instantânea, tanto do ponto de vista algébrico
quanto geométrico, abordando assim o conceito de derivada. No estudo de derivadas, veremos sua ideia inicial,
sua perspectiva geométrica, as derivadas das principais funções e suas propriedades operatórias. Veremos
também algumas aplicações de derivada e justamente nessas situações poderemos otimizar as situações-
problemas.
Vamos estudar esse conteúdo a partir de agora. Acompanhe!
4.1. Taxa de variação
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Segundo a Fundação Getúlio Vargas (FGV, 2018), em julho de 2018, o índice do grupo Bens Intermediários variou
1,96% em junho contra 3,30% no mês anterior. E o principal responsável por essa desaceleração foi o subgrupo
combustíveis e lubrificantes para a produção, cuja taxa de variação passou de 10,60% para -1,00%. A taxa de
variação citada na informação não é exclusiva para medições de mercado financeiro, na verdade, essa taxa pode
ser estabelecida em qualquer intervalo contínuo de uma função.
Suponha que a evolução dos preços de certos produtos possa ser acompanhada pela função ,
onde t é o tempo medido em meses e é o valor do produto medido em reais. Uma vez que fornece o
preço do produto em qualquer data, é possível medir a variação do preço segundo o tempo, averiguando se
aumentam ou diminuem.
4.1.1. Taxa de Variação Média
Dada uma função arbitrária calculamos a taxa de variação média de y com relação a x no intervalo
 ao dividir a variação de y, pelo comprimento = h do intervalo ao longo
da qual a variação ocorre (WEIR, 2005).
Bassanezi (2015) já considera primeiro as variações discretas, para então generalizá-las em variações contínuas e
estabelecê-las da seguinte forma geral:
Seja e sejam e pontos no intervalo , então definimos:
Variação Simples (ou Absoluta) de :
Variação Média de :
É a proporção entre as variações de e de . A variação média mostra o quanto variou por unidade de .
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Retomando o exemplo da evolução dos preços de certos produtos, é possível medir a variação simples e a
variação média, também conhecida como taxa média de variação ou taxa de variação média, para quaisquer
meses. Considere os meses de janeiro e março , temos que:
Variação Simples (ou Absoluta) de :
Variação Média de :
Em (a), a variação simples expressa que de janeiro a março o preço do produto aumentou R$ 5,00. Já em (b), a
variação média expressa que entre os meses de janeiro e março, o preço do produto aumentou R$ 2,50 por mês.
Com isso, podemos entender que para qualquer função contínua que estudamos até agora podemos avaliar a
sua taxa de variação, seja ela simples ou média, basta adotarmos um intervalo de estudo. No entanto, quando o
intervalo é pequeno, infinitesimal, a taxa de variação média ganha outro significado. Acompanhe o próximo
tópico de estudo.
4.1.2. Taxa de variação instantânea
Suponha que os valores de e sejam muito próximos, de modo que se aproxime de zero, isto significa
que o estudo da variação vai tender a um ponto.
Bassanezi (2015) define que a variação instantânea de em um ponto é dada pelo valor do limite
(quando este limite existir):
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Quando escrevemos “ ”, temos de fato que se aproxima de na medida que se aproxima de 
(BONAFINI, 2012).
O filme O Homem que Viu o Infinito (BROWN, 2015) conta a história do indiano Srinivasa Ramanujan, responsável por revoluções na
Matemática abstrata, fazendo avanços consideráveis nas frações continuadas e nas séries infinitas. Vale conferir essa história.
Imagine que uma pessoa tenha ido de carro da cidade A para a cidade B, sem pausas, de modo que a distância
percorrida ( em quilômetros), em relação ao tempo ( em horas), seja associada à função .
É natural que o carro oscile a velocidade algumas vezes durante o percurso, é muito difícil manter a relação
espaço-tempo durante um longo período. Imagine que é necessário calcular a velocidade do carro exatamente
duas horas depois da sua partida, a velocidade no instante . Para isso, vamos usar o conceito de taxa de
variação instantânea.
Note que:
Logo:
VOCÊ QUER VER?
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Portanto, a velocidade no instante é de quilômetros por hora.
VOCÊ SABIA?
Os primeiros estudos de Cinemática realizados na história foram feitos por Galileu Galilei e envolviam o movimento uniformemente
acelerado e o movimento do pêndulo. Galileu também é responsável pela lei dos corpos e enunciou o princípio da inércia. Seus estudos
também contemplaram o telescópio refrator e assim a descoberta das manchas solares, as montanhas da Lua, as fases de Vênus, quatro
dos satélites de Júpiter, os anéis de Saturno, as estrelas da Via Láctea.
Dessa forma, estabelecemos mais um conceito em funções: o de taxa de variação média e instantânea. Note que
a taxa de variação média poderia ser associada à velocidade média, que é a razão entre a variação do espaço
percorrido e a variação do tempo; já a velocidade instantânea é variação da velocidade em um dado instante.
4.1.3. Conceito de derivada
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Bassanezi (2015) define a derivada de uma função , em um ponto de seu domínio, como a variação
instantânea de neste ponto, isto é:
A primeira característica para uma função ser derivável é que seja contínua no ponto em que estamos derivando.
Ou seja, não deve ter “buracos” (FLEMMING; GONÇALVES, 2006). Dizemos que uma função é contínua
em um ponto se cumpre as seguintes condições:
, isto é, existe o valor numérico no ponto;
 , isto é, quando se aproxima de função se aproxima de um dado valor;
Veja a derivada de algumas funções elementares.
Exemplo 1: Cálculo da derivada da função . Para facilitara notação, vamos adotar . Logo, calcular
a derivada da função é determinar o seguinte limite:
Note que:
 e 
Então:
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Dessa forma, a derivada da função é 
Exemplo 2: Cálculo da derivada da função .
Note que:
 e 
Então:
Dessa forma, a derivada da função é 
Exemplo 3: Cálculo da derivada da função .
Note que:
e 
Então:
Dessa forma, a derivada da função é 
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O conceito de derivada aqui estabelecido se aplica a qualquer função que seja contínua, logo é preciso ampliar
esse conceito para todas as funções elementares, que podem ser descritas como .
4.2 Derivada
Se é uma função qualquer, então podemos dizer como varia quando varia
(DEMANA et al., 2009). A derivada da função em , denotada por ((lê-se “ linha de ”), pode ser
definida através do limite:
,
Desde que o limite exista. Se considerarmos , então fazer se aproximar de é o mesmo que fazer 
tender a .
4.2.1. Derivada de uma função em um ponto
A derivada da função em , denotada por , é:
Desde que o limita exista.
Veja o cálculo da derivada da função no ponto 
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Agora o cálculo da derivada da função no ponto 
E o cálculo da derivada da função no ponto 
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Sabendo que:
Temos:
Como , , e 
O cálculo da derivada de uma função em um ponto pode ser complexo, necessitar de muitos artifícios
matemáticos e manipulações algébricas, no entanto, o estudo de funções permite generalizar o comportamento
da derivada e assim elaborar estratégias mais práticas para resolver problemas como os apresentados nos
exemplos.
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4.2.2. Interpretação geométrica da derivada
Newton e Leibniz introduziram a ideia da interpretação da derivada de uma função do ponto de vista geométrico.
VOCÊ SABIA?
Issac Newton (1643-1727) e Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) durante anos disputaram os créditos sobre a descoberta do cálculo
infinitesimal. Os estudos de ambos possuem elementos comuns, desenvolveram relações de derivação e integração mostrando a
relação entre esses dois conceitos. Essa disputa só teve fim com a morte de Newton; hoje entende-se que ambos conceberam o cálculo
infinitesimal de modo próprio. O livro “A Guerra Do Cálculo” (BARDI, 2010) conta a história dessa disputa de autoria.
Considere uma função e um ponto da curva .
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A reta secante à curva da função que passa pelos pontos e , representada na Figura, também expressa a taxa
média de variação.
Suponha agora, conforme a proposta de Flemming e Gonçalves (2006), que, mantendo o ponto fixo, se mova
sobre a curva em direção a .
De modo que o ponto se aproxime cada vez mais de , fazendo com que a distância entres esses pontos tenda
a zero e a reta secante tenda à reta tangente à curva no ponto P.
Figura 1 - A variação entre os valores de e de foram expressos por e respectivamente, e o coeficiente angular da reta que passa pelos
pontos e é .
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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Como já vimos, podemos reescrever o limite acima e encontramos:
Dessa forma, concluímos que o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto é .
A partir do coeficiente angular da reta tangente é possível determinar a equação da reta, basta considerar a reta
que passa por tendo inclinação .
Pierre de Fermat (1601-1665) foi jurista e magistrado e junto com René Descartes criaram a Geometria Analítica. As ideias de Fermat, como o
conceito das equações gerais da reta e circunferência, são encontradas em um trabalho não publicado intitulado “Introdução aos lugares
geométricos planos e sólidos”. Fermat era tido como amador, pois nunca teve o formalismo matemático e dedicava-se à Matemática apenas
informalmente.
Exemplo:
Determinar a equação da reta tangente à curva no ponto .
Figura 2 - A reta tangente está representada e fazer o ponto tender ao ponto é fazer se aproximar de zero, e com isso temos .
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
VOCÊ O CONHECE?
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Considere que a equação de uma reta é , onde e são as coordenadas do ponto 
pertencente à reta e é o coeficiente angular da reta.
Analisando a curva , temos que:
e 
Como x = 1, temos . Agora temos:
E a representação gráfica da função é:
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Entender que a derivada da função representa a inclinação da reta tangente a uma função em um determinado
ponto é uma ferramenta importante para determinar e entender o comportamento da função. Note que na
Figura anterior a reta tangente é crescente e isso é um indicador do comportamento da função. Nos tópicos
seguintes vamos abordar melhor esse comportamento.
4.2.3. Derivada de funções elementares
Como já vimos, função elementar é aquela que pode ser representada por uma única fórmula do tipo 
(DEMANA et al., 2009).
Pretendemos agora mostrar o comportamento da derivada de algumas funções pela definição. No entanto, não
serão demonstrados todos os resultados, uma vez que, nas regras de derivação, encontramos um modelo para
facilitar os cálculos.
Função constante: .
Da função temos:
 e 
Então:
Dessa forma, a derivada da função de qualquer função constante é 
Figura 3 - O ponto pertence à reta tangente e à função e que algebricamente e .
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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Função identidade: .
Em exemplos anteriores, concluímos que a derivada de 
Função quadrática incompleta em b e c: .
Da função temos:
 e 
Então:
Dessa forma, a derivada da função é 
Função Senóide: .
Da função temos:
 e 
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Sabendo que:
 , e 
Temos:
Logo, a derivada da função é .
De modo prático, a Tabela abaixo representa a derivada das principais funções, considere :
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Quadro 1 - A tabela expressaa derivada das principais funções elementares, os resultados podem ser demonstrados como nos exemplos
anteriores.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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As regras de derivação tornam prático o cálculo de derivadas diversas, as situações difíceis e complexas mais
fáceis de serem resolvidas por limites. É importante ressaltar que a notação de derivada não é única, a que
estamos usando foi proposta por Lagrange, já Leibniz denotou a mesma derivada pela representação diferencial
4.3. Propriedades operatórias da derivada
As propriedades operatórias das derivadas nos permitem calcular as derivadas de funções sem o uso da
definição, apenas aplicando as correlações explicitadas nas regras de derivação.
Suponha que desejamos determinar o coeficiente angular da reta tangente à função no ponto 
Usando a Tabela representando a derivada das principais funções, apresentada no tópico anterior, identificamos
 como uma função do tipo . Segundo a regra de derivação, a derivada dessa função é 
, então a derivada da função é:
Agora que já temos a função derivada, basta determinar o coeficiente angular da reta tangente no ponto ,
. E, por fim, determinar a equação da reta:
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Agora suponha que você deseje encontrar a derivada da função . Note que não há composições como
essas na regra, por isso para resolver tais questões vamos usar a propriedade da multiplicação por uma
constante.
Sejam uma função, uma constante definida por . Se existe, então (FLEMMING;
GONÇALVES, 2006).
Suponha que o limite exista, isto é:
Então:
Isto significa que a derivada da função é:
Exemplo:
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Calcular a derivada das funções:
As regras de derivação junto às propriedades operatórias tornam o cálculo da função derivada menos complexo.
Vejamos agora outras propriedades muito importantes.
4.3.1. Propriedade da soma
A propriedade da soma é denominada derivada de uma soma e estabelece que a derivada de uma soma é igual a
soma das derivadas, com a condição de existir um número finito de parcelas aditivas.
Sejam e duas funções e a função definida por Se e existem, então
 (FLEMMING; GONÇALVES, 2006).
Suponha que os limites existam, isto é:
Então:
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Exemplo:
Calcular a derivada das funções:
A composição de função pela soma é uma das primeiras propriedades que usamos. Perceber que a derivada da
soma é a soma das derivadas torna o estudo da função derivada menos complexo.
4.3.2. Propriedade do produto e do quociente
As funções também podem ser formadas pelo produto de funções, o que nos leva a estudar o comportamento
dessa derivada.
Sejam e duas funções e a função definida por Se e existem, então
 (FLEMMING; GONÇALVES, 2006).
Suponha que os limites existam, isto é:
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Então:
Acrescentando no numerador a expressão , note que resulta em zero.
Colocando em evidências nos dois primeiros termos e nos dois últimos, temos:
Exemplo:
Calcular a derivada das funções:
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Nesse caso, é comum colocar em evidência o termo “ ” e observar a seguinte função:
De modo análogo ao produto, as funções também podem ser formadas pelo quociente de funções, porém a
função estabelecida no denominador deve ser diferente de uma função nula derivada.
Sejam e duas funções e a função definida por Se e existem, então
 (FLEMMING; GONÇALVES, 2006).
Suponha que os limites existam, isto é:
Então:
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Acrescentando no numerador a expressão , temos:
Colocando em evidência nos dois primeiros termos e nos dois últimos, obtemos:
Exemplo:
Calcular a derivada das funções:
 
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É possível expressar uma função quociente por meio de um produto, basta considerar como
. No entanto, para efetuar esse cálculo é necessário considerar uma função
composta. O próximo tópico de estudo aborda tal situação.
4.3.3. Propriedade Função Composta – Regra da Cadeia
Segundo Demana et al. (2009), operações entre funções combinadas que não estão baseadas nas operações
numéricas são chamadas de funções compostas. As combinações entre função são aplicações construídas
aplicando-se as leis envolvidas, primeiro uma e depois a outra.
Sejam e duas funções, tais que o domínio de f intersecciona com a imagem de . A composição de ,
representada por , é definida pela regra:
O domínio de consiste em todos os valores de que estão no domínio de , cujo valor está no domínio
de (DEMANA et al., 2009).
De acordo com Flemming e Gonçalves (2006), para todo , tal que está no domínio de , podemos escrever
, isto é, considerar a função composta .
Se e e as derivadas e existem, então a função composta tem derivada que
definida por (FLEMMING; GONÇALVES, 2006):
 ou 
Suponha que exista um intervalo aberto contendo , tal que:
 sempre que e .
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Considere , queremos provar que:
Suponha que exista o limite , então:
Analisando somente
Sabendo que , temos que se , então , assim:
Multiplicando o quociente por , temos:
Considerando o limite, temos:
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Exemplo:
Calcular a derivada das funções:
A escrita da função é mais comum da forma .
As propriedades de derivadas nos auxiliam a compor um universo infinito de composição de funções, uma vez
que em determinadas situações uma função pode ser construída pelas combinações das operações aritméticas
ou ainda na aplicação sucessiva das leis envolvidas.
4.4 Aplicações de derivada
Como a derivada é uma ferramenta para análise do comportamento de uma função, é possível estabelecer
inúmeras aplicabilidades a ela. Para Flemming e Gonçalves (2006), a interpretação da derivada como uma razão
de variação tem aplicações práticas nas mais diversas ciências: na Física, em velocidade instantânea; na
Economia, Administração e Engenharia de Produção, nos conceitos de curvas marginais (lucro, custo, receita) e
elasticidade, por exemplo.
4.4.1. Crescimento e decrescimento de uma função
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Suponha que uma empresa esteja analisando a função lucro, de modo que , onde é a
quantidade de peças produzidas e é o lucro em reais. Sabe-se que, se não houver produção, não há lucro,
mas é possível estudar o comportamento da função lucro para entender em que situações o lucro é crescente ou
decrescente, por exemplo. A interpretação geométrica da derivada nos auxilia nessa construção.
Vamos aos conceitos? Dizemos queuma função , definida em um intervalo , é crescente se para quaisquer
, , temos (FLEMMING; GONÇALVES, 2006).
Usando a interpretação geométrica de derivada é possível estabelecer se um intervalo de uma função é
crescente, decrescente ou monótono (quando não é crescente e não é decrescente). Como a derivada representa
o coeficiente angular da reta tangente, temos que é possível estabelecer a relação citada pelo comportamento
do seu coeficiente angular.
Seja uma função contínua no intervalo e derivável no intervalo (FLEMMING; GONÇALVES, 2006).
se para todo , então é crescente em ;
se para todo , então é decrescente em .
Retomando o problema acima, analisando a função lucro dada por:
Determinando a derivada da função, temos:
Analisando os sinais da função lucro, e considerando que , temos:
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Como há duas raízes reais iguais, a função para todo real. Isso significa que o lucro é sempre crescente
nessa empresa.
A função representa o valor de uma ação (em reais) em função do tempo x, medido em
meses. É possível determinar o comportamento dessa ação pelo estudo da derivada da função que representa
sua lei.
Analisando os sinais da função , temos:
Logo, há duas raízes reais: e . E a representação gráfica da análise dos sinais é:
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Como para e , então a função que representa a ação é crescente para esses intervalos; como
 para , então a função que representa a ação é decrescente.
O livro “O Homem que Calculava” (TAHAN, 2010) trata das aventuras e proezas matemáticas do calculista persa Beremiz Samir em Bagdá do
século XIII. O livro foi escrito por Malba Tahan (heterônimo do professor brasileiro Julio César de Mello e Souza), foi traduzido para espanhol,
português, inglês, italiano, alemão e francês e sua primeira publicação foi em 1938; e hoje está na sua 80ª edição.
A variabilidade do sinal da função derivada ( indica para que valores de x a função é crescente,
decrescente ou monótona. Ampliando a ideia da construção de intervalos de crescimento e decrescimento, é
possível determinar os pontos ótimos de uma função, o que veremos a seguir.
4.4.2 Máximos e mínimos de uma função
Imagine que a trajetória de um objeto está descrita por uma função , onde é altura em metros e é o
tempo em segundos. É interessante determinar quando o objeto está subindo e descendo (estudo da função no
aspecto crescente e decrescente), mas também é importante saber quando o objeto assume a altura máxima, o
Figura 4 - A partir dos sinais da função , podemos estabelecer quando é crescente ou decrescente.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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momento ótimo. De modo geral, determinar máximos e mínimos de uma função é otimizá-la e a derivada é uma
das ferramentas necessárias para a solução desses problemas, no entanto, é importante conhecer os critérios
para a determinação de máximos e mínimos.
Para Flemming e Gonçalves (2006), uma função contínua em um intervalo fechado que possui derivada em
todo o ponto do intervalo , exceto, possivelmente, em um ponto .
se para todo e para todo , então tem um máximo relativo em ;
se para todo e para todo , então tem um mínimo relativo em .
Agora veja na Figura abaixo a representação gráfica das funções indicadas:
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Exemplo:
Veja a análise da função , polinomial do quarto grau.
Encontramos os máximos e mínimos relativos da função.
A decomposição de uma função é um instrumento utilizado para realizar o estudo dos sinais. E, assim, temos:
 , função do primeiro grau crescente cuja raiz é ;
 , função do primeiro grau crescente cuja raiz é ;
 , função do primeiro grau crescente cuja raiz é .
Observe a Figura abaixo com o estudo dos sinais da função:
Figura 5 - Na primeira função há um ponto de máximo e na segunda, um ponto de mínimo.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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Considerando cada ponto:
 é um mínimo relativo;
 é um máximo relativo;
 é um mínimo relativo.
Observe o gráfico da função:
Figura 6 - Com o estudo dos sinais da função derivada de , podemos avaliar o seu comportamento.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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Figura 7 - O gráfico da função mostra os pontos em que podemos encontrar os máximos e mínimos relativos.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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A análise dos máximos ou mínimos relativos também pode ser feita pelo estudo da derivada segunda. Flemming
e Gonçalves (2006) nos trazem que uma função derivável em um intervalo e c um ponto crítico de neste
intervalo, isto é, , com . Se admite a derivada em , temos:
se tem um valor máximo relativo em ;
se tem um valor mínimo relativo em .
Exemplo:
Veja a análise da função , polinomial do quinto grau. Encontramos os máximos e mínimos relativos
da função.
Chamamos de pontos críticos os pontos de análise e . Determinando a derivada segunda, temos:
Considerando cada ponto crítico:
 , , logo é um ponto máximo relativo;
 , , logo é um ponto mínimo relativo.
Agora observe o gráfico da função:
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Figura 8 - O gráfico da função nos mostra os pontos em que podemos observar os pontos de máximo e mínimo relativos.
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Usando a derivada desenvolvemos uma ferramenta de análise da função que nos auxilia na consideração de
pontos que assumem pontos ótimos em um intervalo, os denominados máximos ou mínimos de um intervalo.
A Sociedade Brasileira de Matemática (SBM) foi fundada em 1969 e é uma entidade civil, de caráter cultural e sem fins lucrativos. Em seu site,
você encontra vários artigos que podem auxiliar os estudos da Matemática nos seus diversos níveis. Dentre as suas publicações disponíveis
para download há a revista Eureka! e Matemática Universitária (SBM, 2018). Encontre mais informações em: .
Continuando com nosso estudo, a seguir, você verá uma ferramenta importante para as áreas de administração e
economia: as funções marginais.
4.4.3. Funções Marginais
Em Economia, Administração e Engenharia de Produção, a variação de uma quantidade em relação a outra pode
ser descrita por quaisquer dos dois conceitos: o de média ou de marginal. O conceito de média representa a
variação de uma quantidade sobre um conjunto característico de valores de uma segunda quantidade, em
contrapartida, o conceito de marginal é a mudança instantânea na primeira quantidade. Logo, a formulação das
funções de Custo Marginal, Lucro Marginal e Receita Marginal são dadas pelas derivadas das funções Custo Total,
Lucro Total e Receita Total, respectivamente.
Fonte: Elaborado pela autora, 2018.
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A indicação “marginal” utilizada pelos economistas indica uma variação “na margem”, significando que é
considerada como um limite (FLEMMING; GONÇALVES, 2006).
Custo Marginal
Seja , o custo total para produzir e comercializar unidades de um produto. Se aumentar a produção de 
para , o acréscimo correspondente no custo total é de .
A taxa média de acréscimo no custo, por unidade acrescida na produção, no intervalo é:
Assim, o custo marginal é definido como:
Que representa a taxa de variação instantânea do custo total, por unidade de variação da quantidade produzida,
quando esta se encontra em um nível x. De modo análogo, definimos as demais funções marginais.
Receita Marginal
Na função receita marginal, temos:
Assim, o lucro marginal é definido como:
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Lucro Marginal
Na função lucro marginal, temos:
Assim, o lucro marginal é definido como:
Exemplos:
Uma mina produz toneladas de minérios por mês. Estima-se que o processo extrativo dure 300 meses (25 anos) a
partir de hoje, considerando que o preço (receita) por tonelada de minério seja dado pela função
 em relação ao tempo em meses. Determinar a variação do preço da tonelada daqui a
dez meses, por exemplo, é calcular o valor da derivada no ponto :
Da função , temos a seguinte derivada: . Avaliando o ponto:
Portanto, a variação do preço da tonelada de minério daqui a dez meses é de R$ 11,80.
O gerente de uma empresa, analisando os parâmetros da empresa, conclui que a receita total pode ser expressa
por , onde representa o valor em reais na venda de unidades de determinado
produto. A partir dessa função receita, calcular a receita marginal a produção de 100 unidades do produto.
Portanto, a receita marginal na produção de 100 unidades é de R$ 19.600,00.
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Uma empresa analisou suas receitas e despesas e constatou que a receita total é definida pela função 
, onde é dado em reais e representa a unidade de produto produzido, já o seu custo é determinado por
. Considerando que o lucro da empresa é , qual deve ser a produção para
que o lucro da empresa seja máximo?
Definindo a função lucro, temos:
Identificar o número máximo a ser produzido é analisar e . Dessa forma:
Portanto, devem ser produzidos 500 unidades para que o lucro seja máximo.
CASO
“No Brasil, no terceiro trimestre de 2014, 81.862 pessoas trabalhavam com a venda de alimentos nas ruas. Após três anos, o número
subiu para 501.308 vendedores — alta de 512%” (MARTINS, 2018, on-line).
Considerando o mercado de trabalho atual, Ana resolveu empreender e vender quentinhas. Conversando com outras pessoas que
realizam a mesma atividade, ela concluiu que é possível produzir uma média de 5000 quentinhas por mês. Em busca de economizar e
aproveitar as promoções, ela pode realizar as compras dos materiais em etapas e ter um custo definido por  . Esse
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custo foi definido baseado que cada vez que vai ao mercado, as compras geram um custo de R$100,00 e   equivale ao número de
idas ao mercado. Além disso, há um custo de R$ 0,50 por unidade para as embalagens descartáveis, que é definido por  .
Assim, o custo total é por definido por:
A partir dessas informações é possível avaliar o número de quentinhas que Ana deve fazer para que o custo seja mínimo e saber quantas
vezes ela deve ir ao mercado.
Avaliando os pontos críticos, temos,    e  . Com isso descartamos   e consideramos apenas   .
Com base nas situações acima podemos verificar que Ana deve ir ao mercado 5 vezes durante o mês, pois  ; o custo
total mensal de Ana deve ser de R$1000,00, pois  .
As funções marginais representam diversas situações envolvendo as movimentações financeiras de uma
empresa, como a estimativa de valores que entram e saem, e elementos ligados diretamente com a
produtividade. O estudo de funções, especificamente da derivada, nos auxilia nessa construção de análise.
Síntese
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Chegamos ao final do capítulo em que aprendemos a analisar uma função considerando a sua variação média e
instantânea. Vimos como determinar a derivada de uma função, seja ela em uma representação elementar, como
em uma composição por operações aritméticas ou em uma composição de funções. Aprendemos também a usar
a derivada como ferramenta de análise de uma função tanto considerando o crescimento, o decrescimento e
seus pontos de máximos e mínimos.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
conceituar taxa de variação;
determinar taxa de variação média e taxa de variação instantânea;
estabelecer a diferença entre taxa média de variação e taxa de variação instantânea;
determinar a derivada de uma função considerando um ponto;
determinar a função derivada;
interpretar derivada com a perspectiva geométrica;
determinar a derivada de funções elementares;
determinar a derivada de uma função considerando a composição de funções pela soma, produto e
quociente;
realizar a derivada de função composta – regar da cadeia;
aplicar o conceito de derivada na análise de função quanto a classificação de crescente e decrescente;
aplicar o conceito de derivada para determinar máximos e mínimos de uma função;
aplicar o conceito de derivada em funções marginais.
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Bibliografia
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de Janeiro: Record, 2010.
DEMANA, F. et al. Pré-Cálculo. Tradução: A. Silva e E. Yazawa. São Paulo: Pearson. 2009.
BASSANEZI, R. C. Introdução ao Cálculo e suas aplicações. São Paulo: Contexto, 2015.
BONAFINI, F. C. (org.). Matemática. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2012. Disponível na Biblioteca Virtual : .
Acesso em: 8/09/2018. 
BROWN, M. O Homem que viu o Infinito. Direção: Matt Brown. Produção: Matt Brown, John Katz, Edward R.
Pressman, Sofia Sondervan. EUA, Reino Unido, 2015.
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: funções, limite, derivação, integração. 6. ed. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2006.
FGV – Fundação Getúlio Vargas. IGP-DI apresenta taxa de 1,48% em junho. Portal FGV. Rio de Janeiro, 10 julho
2018, Economia. Disponível em: . Acesso em: 27/08/2018.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar: Conjuntos e Funções. Vol. 1. São Paulo: Ed
Atual, 2013.
______. Fundamentos de Matemática Elementar: Limites, derivada e Noções de Integral. Vol. 8. São Paulo: Ed
Atual, 2013.
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MARTINS, G. Comida de rua: total de vendedores cresce 450% no Estado do Rio, em três anos. Extra. Rio de
Janeiro, 29 janeiro 2018. Disponível em: . Acesso em: 30/08/2018.
SBM – Sociedade Brasileira de Matemática. Home Page. 2018. Disponível em: .
Acesso em: 6/09/2018.
STEWART, J. Cálculo. Vol 1. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
TAHAN, M. O Homem que calculava. 79. ed. Rio de Janeiro, Record, 2010.
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