Análise da Função de Desempenho e Aplicações do Cálculo Diferencial Olá, Colegas e Professor(a)! ? Em atendimento à Atividade Contextualizada, desenvolvi a análise da função de desempenho ? ( ? ) = ? 3 − ? 2 + 3 ? − 3 , f(t)=t 3 −t 2 +3t−3, a qual representa a evolução de uma grandeza de engenharia ao longo do tempo. A aplicação do Cálculo Diferencial é fundamental para compreender o comportamento de sistemas dinâmicos, especialmente no que diz respeito às taxas de variação e aceleração. 1. Derivadas da Função 1.1 Primeira Derivada – Taxa de Variação (Velocidade) Derivando a função original: ? ′ ( ? ) = 3 ? 2 − 2 ? + 3 f ′ (t)=3t 2 −2t+3 Essa derivada representa a velocidade instantânea ou a taxa de variação da grandeza ao longo do tempo. 1.2 Segunda Derivada – Variação da Taxa (Aceleração) Derivando novamente: ? ′ ′ ( ? ) = 6 ? − 2 f ′′ (t)=6t−2 A segunda derivada mostra como a velocidade está mudando ao longo do tempo, ou seja, a aceleração do sistema. 2. Cálculos Solicitados 2.1 Valores da Primeira Derivada (f'(t)) Tempo (s) Cálculo f’(t) 1 3 ( 1 ) 2 − 2 ( 1 ) + 3 3(1) 2 −2(1)+3 4 2 3 ( 2 ) 2 − 2 ( 2 ) + 3 3(2) 2 −2(2)+3 11 3 3 ( 3 ) 2 − 2 ( 3 ) + 3 3(3) 2 −2(3)+3 24 4 3 ( 4 ) 2 − 2 ( 4 ) + 3 3(4) 2 −2(4)+3 43 5 3 ( 5 ) 2 − 2 ( 5 ) + 3 3(5) 2 −2(5)+3 68 2.2 Interpretação do Gráfico de f’(t) O gráfico da velocidade é uma parábola crescente, indicando que o sistema está aumentando sua velocidade continuamente ao longo do tempo. 2.3 Valores da Segunda Derivada (f''(t)) Tempo (s) Cálculo f’’(t) 2 6 ( 2 ) − 2 6(2)−2 10 4 6 ( 4 ) − 2 6(4)−2 22 6 6 ( 6 ) − 2 6(6)−2 34 2.4 Interpretação do Gráfico de f’’(t) O gráfico da segunda derivada é uma reta crescente, indicando que a aceleração aumenta de modo constante com o tempo. 3. Importância do Cálculo Diferencial na Engenharia Este exercício evidencia como o Cálculo Diferencial é essencial para modelar sistemas reais. A função ? ( ? ) f(t) indica a grandeza em si (como posição ou desempenho). No entanto, é por meio das derivadas que o engenheiro compreende: a velocidade das mudanças no sistema (primeira derivada); a aceleração ou intensidade dessas mudanças (segunda derivada). Os valores crescentes de ? ′ ( ? ) f ′ (t) mostram que o sistema está acelerando progressivamente. A segunda derivada confirma essa tendência ao indicar que a aceleração não é apenas constante, mas crescente. Esse tipo de análise permite ao engenheiro: prever comportamentos futuros do sistema; evitar sobrecargas e falhas; otimizar recursos; garantir segurança e eficiência operacional. Referência SOUZA, Natália Galvão Simão de. Cálculo Diferencial. Ser Educacional, 2019.