Para determinar os coeficientes da série de Fourier da função \( f(t) = t \) no intervalo \(-\pi \leq t \leq \pi\), precisamos calcular os coeficientes \( a_0 \), \( a_n \) e \( b_n \). 1. Cálculo de \( a_0 \): \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \, dt = 0 \] (A integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico é zero.) 2. Cálculo de \( a_n \): \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \cos(nt) \, dt = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \cos(nt) \, dt = 0 \] (A integral de uma função ímpar multiplicada por uma função par também é zero.) 3. Cálculo de \( b_n \): \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin(nt) \, dt = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} t \sin(nt) \, dt \] (Essa integral resulta em \( b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \).) Com isso, temos: - \( a_0 = 0 \) - \( a_n = 0 \) - \( b_n = \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \) Analisando as alternativas: a) \( a_0=2 \), \( a_n=1/n \), \( b_n=2/n \) - Incorreto. b) \( a_0=0 \), \( a_n=0 \), \( b_n=(-2\pi n \cos(n\pi) + 2 \sin(\pi n))/( \pi n^2) \) - Incorreto. c) \( a_0=0 \), \( a_n=(-1)^n \), \( b_n=(-1)^{n+1} \cdot (2/n) \sin(nx) \) - Correto. d) \( a_0=1 \), \( a_n=0 \), \( b_n=\sin(nx)/n \) - Incorreto. e) \( a_0=0 \), \( a_n=0 \), \( b_n=(-1)^{n+1} \) - Incorreto. Portanto, a alternativa correta é a c) \( a_0=0 \), \( a_n=(-1)^n \), \( b_n=(-1)^{n+1} \cdot (2/n) \sin(nx) \).