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Análise de Fourier no tempo discreto
Leandro dos Santos Coelho
Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR), Escola Politécnica
Pós-Graduação em Engenharia de Produção e Sistemas (PPGEPS), Graduação em Engenharia de Controle e Automação (Mecatrônica)
Rua Imaculada Conceição, 1155, CEP 80215-901, Curitiba, PR, Brasil
Universidade Federal do Paraná (UFPR), Graduação e Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Campus Centro Politécnico 
Av. Cel. Francisco H. dos Santos, 100, CEP 81530-000, Curitiba, PR, Brasil
e-mail: leandro.coelho@pucpr.br; lscoelho2009@gmail.com; leandro.coelho@pucpr.br
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Google Scholar: https://scholar.google.com/citations?user=0X7VkC4AAAAJ&hl=pt-PT
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Suporte na preparação dos slides
TE739 – Prática de Docência 01/2022
PPGEE-UFPR
Doutoranda: Luiza Scapinello Aquino da Silva
Tópicos
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Leandro dos Santos Coelho
 Séries de Fourier em tempo discreto
 Transformada de Fourier em tempo discreto
 Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto
Série de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Série de Fourier discreta: Sinais periódicos
 Embora representação por série de Fourier dos sinais periódicos de
tempo discreto tenha um paralelo com a série de Fourier em tempo
contínuo, existem algumas diferenças.
 A representação em série de Fourier de um sinal periódico de tempo
discreto é uma série finita, ao contrário da representação em série infinita
exigida para os sinais periódicos de tempo contínuo.
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Série de Fourier discreta: Representação
A representação em série de Fourier discreta de uma sequência periódica com
período fundamental é dada por
Ω
onde são os coeficientes de Fourier dados por
Ω
é igual ao valor médio de em um período. denota que o somatório é
em relação a , que por sua vez varia em um intervalo de inteiros sucessivos.
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Série de Fourier discreta: Representação
Exemplo 1
Determine a série de Fourier discreta para a série periódica dada pela
figura abaixo:
Ω
Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Série de Fourier discreta: Representação
Exemplo 1 – Resolução
Primeiramente nota-se que o período fundamental e que é a extensão periódica de
Ω
Em seguida pode-se calcular os coeficientes de Fourier , , ,
Ω Ω
Ω
𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑒 Ω
𝑎 =
1
𝑁
𝑥[𝑛]𝑒 Ω 𝑎 =
1
𝑁
𝑥[𝑛] 
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Série de Fourier discreta: Representação
Exemplo 2
Determine os coeficientes da série de Fourier discreta para a série
periódica dada por:
Ω
Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Série de Fourier discreta: Representação
Exemplo 2 – Solução
Ω
Transformada de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Transformada de Fourier em tempo discreto: Sinais aperiódicos
A transformada de Fourier em tempo discreto (equação de análise) é dada
por
A transformada inversa de Fourier em tempo discreto (equação de síntese)
é dada por
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Transformada de Fourier em tempo discreto: 
Exemplo 3:
Calcule a transformada de Fourier em tempo discreto de
Ω Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Transformada de Fourier em tempo discreto: 
Exemplo 3 - Resolução:
Ω Ω Ω Ω
Fazendo no segundo somatório
Ω Ω Ω Ω Ω Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Transformada de Fourier em tempo discreto: 
Exemplo 4:
Calcule a transformada inversa de Fourier em tempo discreto de
Ω Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Transformada de Fourier em tempo discreto: 
Exemplo 4 - Resolução:
Ω Ω
Ω
Ω
Ω
Ω ´
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Transformada de Fourier em tempo discreto: Sinais periódicos
A transformada de Fourier em tempo discreto para sinais periódicos pode
sem encontrada utilizando os coeficientes da série de Fourier e pode ser
representada também por
A inversa também pode ser encontrada por, quando utilizados os
coeficientes da série de Fourier de
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Transformada de Fourier em tempo discreto: Sinais periódicos
Exemplo 5:
Calcule a transformada de Fourier em tempo discreto do sinal
Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Transformada de Fourier em tempo discreto: Sinais periódicos
Exemplo 5 - Resolução:
Ω
Ω
Transformada rápida de Fourier
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Leandro dos Santos Coelho
Fast Fourier Transform, FFT
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Transformada de Fourier Discreta: 
Seja uma sequência de tamanho finito de comprimento , a transformada de
Fourier discreta é definida por
A transformada de Fourier discreta inversa é representada por
A transformada de Fourier discreta corresponde a transformada de Fourier em tempo
discreto amostrada nas frequências uniformemente espaçadas para inteiro.
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Transformada de Fourier Discreta: Características
 Há uma correspondência em a um entre e .
 Existe um algoritmo extremamente rápido, chamado de transformada
rápida de Fourier (FFT), para o seu cálculo.
 A transformada de Fourier Discreta se relaciona de perto com a série de
Fourier discreta e com a transformada de Fourier em tempo discreto.
 A transformada de Fourier discreta é a representação de Fourier
adequada para o uso em computador digital, pois ela é discreta e de
comprimento finito nos domínios tanto de tempo quanto de frequência.
Transformada rápida de Fourier (FFT)
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Leandro dos Santos Coelho
 Conceitos da FFT – Carl Friedrich Gauss (1805)
Cooley-Tukey FFT algorithm é um algoritmo que calcula a Transformada discreta de 
Fourier e a sua inversa. Foi criado pelo estatístico estadunidense John Wilder Tukey e o 
matemático James William Cooley. 
Uma FFT calcula rapidamente essas transformações fatorizando a matriz da Transformada 
discreta de Fourier em um produto de fatores esparsos (principalmente zero). 
Em 1994, Gilbert Strang descreveu a Transformada rápida de Fourier como “O algoritmo 
numérico mais importante da nossa vida”, e foi incluída no Top 10 Algorithms of 20th 
Century pela periódico IEEE Computing in Science & Engineering (Janeiro/Fevereiro, 
2000).
John Wilder Tukey
(1915-2000)
https://pt.wikipedia.org/wiki/John_Tukey
William Gilbert Strang
(1934- ) 
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Tukey/
https://www.computer.org/csdl/magazine/cs/2000/01/c1022/13rRUxBJhBm
 Metropolis Algorithm for Monte Carlo
 Simplex Method for Linear Programming
 Krylov Subspace Iteration Methods
 The Decompositional Approach to Matrix Computations
 The Fortran Optimizing Compiler
 QR Algorithm for Computing Eigenvalues
 Quicksort Algorithm for Sorting
 Fast Fourier Transform
 Integer Relation Detection
 Fast Multipole Method
James William Cooley
(1926-2016)
Transformada rápida de Fourier (FFT)
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Leandro dos Santos Coelho
John Wilder Tukey
(1915-2000)
https://historyofinformation.com/detail.php?entryid=1058
James William Cooley
(1926-2016)
James William Cooley
IBM Watson Research Center, Yorktown Heights, New York 
John Wilder Tukey
“An algorithm for the machine calculation of complex
Fourier series”, Mathematics of Computation, 
vol. 19, pp. 297-301, 1965. 
https://www.ams.org/journals/mcom/1965-19-090/S0025-5718-1965-0178586-1/S0025-5718-1965-0178586-1.pdf
“A motivação para tal [algoritmo FFT] foi fornecida peloDr. Richard L. Garwin da IBM 
Watson Research, que estava preocupado em verificar um tratado de armas nucleares com a 
União Soviética para as conversações SALT (Conversações sobre Limites para Armas 
Estratégicas do inglês Strategic Arms Limitation Talks). 
Garwin pensou que se tivesse uma transformação de Fourier muito mais rápida, poderia 
plantar sensores no solo em países que rodeiam a União Soviética. Ele sugeriu a ideia de 
como as transformações de Fourier poderiam ser programadas para serem muito mais 
rápidas tanto para Cooley como para Tukey. Eles fizeram o trabalho, os sensores foram 
implantados, e ele foi capaz de localizar as explosões nucleares num raio de 15 km de onde 
elas estavam ocorrendo”.
Richard Lawrence Garwin
(1928-)
Transformada rápida de Fourier (FFT)
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Leandro dos Santos Coelho
John Wilder Tukey
(1915-2000)
https://www.stat.berkeley.edu/~brill/Papers/life.pdf
Tukey trabalhou no desenvolvimento de métodos estatísticos para 
computadores na Bell Labs, onde inventou o termo "bit" em 1947.
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Transformada de Fourier Discreta: 
Exemplo Matlab com FFT
Utilizando a função fft encontre espectro de potência do sinal .
 é composto pela soma de duas senoides, sendo a primeira com
amplitude 0.25 e frequência de 60Hz e a segunda de amplitude 0.75 e
frequência de 150Hz.
 Frequência de amostragem de 500.
 Tempo do sinal de 0.3 segundo.
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Transformada de Fourier Discreta: 
Exemplo Matlab usando FFT
Fa = 500; % Frequência de amostragem 
N = 1/Fa; % Período de amostragem 
S = 300; % Tamanho do sinal
t = (0:S-1)*N/2; % Vetor de tempo
nfft = 1024; % Tamanho da FFT
f = (0:nfft/2-1)*Fa/nfft; % Vetor de frequência
x = 0.25*sin(2*pi*60*t)+0.75*sin(2*pi*150*t); % Sinal
X = fft(x, nfft); % transformada rápida de Fourier do sinal
X = X(1:nfft/2); %FFT é simétrica então a segunda metade é idêntica a primeira e por 
isso descartável
subplot(2, 1, 1)
plot(t, x)
title('Sinal Original’)
xlabel('Tempo (s)')
ylabel('Amplitude')
subplot(2, 1, 2)
plot(f, abs(X))
title('Potência espectral do sinal')
xlabel('Frequência (Hz)')
ylabel('Potência')
https://www.mathworks.com/help/matlab/ref/fft.html
Exercícios
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Leandro dos Santos Coelho
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
 Determinar a transformada de Fourier dos sinais em tempo 
discreto a seguir.
está na figura ao lado
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Exercícios: Resolução do exercício 1(a)
Ω Ω Ω Ω( )
Ω Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω Ω
Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Exercícios: Soluções do exercício 1
Ω
Ω Ω Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Exercícios: Resolução do exercício 1
𝑋 𝑒 Ω = 5𝜋𝛿 Ω + 2𝜋𝑒 𝛿 Ω −
𝜋
4
+ 2𝜋𝑒 𝛿 Ω +
𝜋
4
+ 𝑗𝜋𝑒 𝛿 Ω −
2𝜋
5
− 𝑗𝜋𝑒 𝛿 Ω +
2𝜋
5
Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω ou
Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
 Determinar a transformada inversa de Fourier em tempo discreto 
dos sinais a seguir.
∠
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Exercícios: Resolução do exercício 2(a)
∠
Ω Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
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Leandro dos Santos Coelho
Exercícios: Solução do exercício 2
Ω Ω
Ω
Ω
Material suplementar
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Leandro dos Santos Coelho
Análise de Sinais - Notas em Sinais e Sistemas, 
Notas de aula, 4ª Edição (2019), J. A. M. Felippe de Souza
http://users.isr.ist.utl.pt/~iml/MEEC/ss_09-10_sem1/
Matemateca - Ester Velasquez
Transformada de Fourier de Tempo Discreto: introdução, módulo e fase | Sinais e Sistemas
https://www.youtube.com/watch?v=71WWCtYd7Lo
MIPEDES -Transformada de Fourier a Tempo Discreto (Exercícios)
https://www.youtube.com/watch?v=J7f6c9Bq2hw
https://www.youtube.com/watch?v=YYGZFX5YbVk
https://www.youtube.com/watch?v=Hnu8QNY6w-w
36
Albert Einstein (1879-1955)
German-born American scientist. He developed the theory
of relativity. He received the Nobel Prize in Physics in 1921
for theoretical physics.
Leandro dos Santos Coelho
Everybody is a genius. But if you judge a fish by its
ability to climb a tree, it will live its whole life
believing that it is stupid.
Frase (quote)