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Nos primeiros quadros, uma função é
representada por uma série de Fourier: uma
combinação linear de senos e cossenos (em
azul). As componentes frequência desses senos
e cossenos distribuem-se ao longo do espectro
de frequência; são representadas como deltas de
Dirac no eixo . A representação do domínio da
função é o conjunto desses picos nas
frequências que aparecem na resolução da
função.
Transformada de Fourier
Em matemática, a transformada de Fourier é uma transformada integral que expressa uma função em termos de funções de base sinusoidal. Existem diversas variações diretamente
relacionadas desta transformada, dependendo do tipo de função a transformar. A transformada de Fourier, epônimo a Jean-Baptiste Joseph Fourier,[1] decompõe uma função temporal (um
sinal) em frequências, tal como um acorde de um instrumento musical pode ser expresso como a amplitude (ou volume) das suas notas constituintes. A transformada de Fourier de uma função
temporal é uma função de valor complexo da frequência, cujo valor absoluto representa a soma das frequências presente na função original e cujo argumento complexo é a fase de deslocamento
da base sinusoidal naquela frequência.
A transformada de Fourier é chamada de representação do domínio da frequência do sinal original. O termo transformada de Fourier refere-se a ambas representações do domínio frequência
e à operação matemática que associa a representação domínio frequência a uma função temporal. A transformada de Fourier não é limitada a funções temporais, contudo para fins de
convenção, o domínio original é comumente referido como domínio do tempo. Para muitas funções de interesse prático, pode-se definir uma operação de reversão: a transformada inversa de
Fourier, também chamada de síntese de Fourier, de um domínio de frequência combina as contribuições de todas as frequências diferentes para a reconstituição de uma função temporal
original.
Operações lineares aplicadas em um dos domínios(tempo ou frequência) resultam em operações correspondentes no outro domínio, o que, em certas ocasiões, podem ser mais fáceis de efetuar.
A operação de diferenciação no domínio do tempo corresponde à multiplicação na frequência, o que torna mais fácil a análise de equações diferenciais no domínio da frequência. Além disso, a
convolução no domínio temporal corresponde à multiplicação ordinária no domínio da frequência. Isso significa que qualquer sistema linear que não varia com o tempo, como um filtro aplicado
a um sinal, pode ser expressado de maneira relativamente simples como uma operação nas frequências. Após realizar a operação desejada, a transformação do resultado alterna para o domínio
do tempo. A Análise harmônica é o estudo sistemático da relação entre os domínios de tempo e frequência, incluindo os tipos de funções ou operações que são mais "simples" em um ou em
outro, e possui ligações profundas a muitas áreas da matemática moderna.
Diversas notações são convencionadas para denotar a transformação de Fourier de uma função . Utilizaremos a seguinte representação:
A afirmação de que pode ser reconstruída a partir de é conhecida como o teorema da inversão de Fourier e foi introduzido no estudo Analytical Theory of Heat, de Fourier, apesar de que a
definição moderna de demonstração teria sido construída muito tempo depois. As funções e são conhecidas como par integral de Fourier.
Artigo principal: Análise de Fourier
Uma motivação para a transformada de Fourier vêm do estudo da série de Fourier. Nesse estudo, funções complicadas porém periódicas são escritas como o somatório de ondas simples
matematicamente representadas por senos e cossenos. A transformada de Fourier é uma extensão da série de Fourier que resulta quando o período da função representada é maximizado,
aproximando-se do infinito.
Devido às propriedades dos senos e dos cossenos, é possível determinar a amplitude de cada onda da série de Fourier utilizando uma integração.
Em muitos casos é desejável usar a identidade de Euler, , para escrever a série de Fourier em termos de ondas
básicas . Esse procedimento possui a vantagem de simplificar muitas fórmulas envolvidas e provém uma formulação da série de Fourier que
relembra a definição utilizada nesse artigo. Reescrevendo senos e cossenos como exponenciais complexas torna necessário que os coeficientes de
Fourier sejam valores complexos. A intepretação usual desse número complexo é que ele fornece ambas amplitude (ou tamanho) da onda
presente na função e a fase (ou ângulo inicial) da onda. Essas exponenciais complexas algumas vezes possuem "frequências" negativas. Se é
medido em segundos, então ambas ondas e completam um ciclo por segundo mas representam frequências diferentes na
transformada de Fourier. Assim, frequência não mais mede o número de ciclos por unidade de tempo, mas ainda possui interpretação similar.
Existe uma forte conexão entre as definições de série de Fourier e a transformada de Fourier para funções que são zero fora de um intervalo.
Para tal função, pode-se calcular sua série de Fourier em qualquer intervalo que inclui os pontos onde não é identicamente zero. A transformada
de Fourier também é definida para tal função. À medida que aumenta-se o comprimento do intervalo em que calcula-se a série de Fourier, então
os coeficientes da série de Fourier começam a assemelhar-se à transformada de Fourier e o somatório da série de Fourier de começa a
assemelhar-se à transformada inversa de Fourier. Para explicar isso mais precisamente, suponha que é suficientemente longo que o intervalo
 contenha o intervalo em que não seja identicamente zero. Então o n-ésimo termo do coeficiente será dado por
Comparando isso com a definição de transformada de Fourier, pode-se deduzir que
desde que seja nula fora do intervalo .
Sob certas condições, a série de Fourier de pode ser igual à função . Em outras palavras, pode ser escrita como
onde o segundo somatório é simplesmente o primeiro somatório reescrito, utilizando as definições e .
O segundo somatório configura uma soma de Riemann, e à medida em que ela convergirá para a integral da transformada de Fourier inversa apresentada na seção de Definição.
No estudo da série de Fourier os números podem ser interpretados como a "quantidade" da onda presente na série de Fourier de . Semelhantemente, como visto acima, a transformada de
Fourier pode ser vista como a função que mensura o quanto de cada frequência individual encontra-se presente na função , e pode-se recombinar essas ondas com o uso da transformada
inversa de Fourier, reproduzindo a função original.
Definição
Introdução
29/04/2025, 11:45 Transformada de Fourier – Wikipédia, a enciclopédia livre
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 1/19
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Fourier_transform_time_and_frequency_domains_(small).gif
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https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier
https://pt.wikipedia.org/wiki/Combina%C3%A7%C3%A3o_linear
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac
https://pt.wikipedia.org/wiki/Wikip%C3%A9dia:P%C3%A1gina_principal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1tica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_integral
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o_de_base&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_trigonom%C3%A9trica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ep%C3%B3nimo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Joseph_Fourier
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dom%C3%ADnio_do_tempo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dom%C3%ADnio_da_frequ%C3%AAncia
https://pt.wikipedia.org/wiki/Convolu%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lise_de_Fourier
https://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complexo
Assume-se aqui que , e são funções integráveis: Lebesgue-mensuráveis no domínio satisfazendo .
Denota-se as transformadas de Fourier destas funções como , e , respectivamente.
A transformadade Fourier possui as seguintes propriedades básicas:
Para quaisquer números complexos e , se , então 
Demonstração:[2]
Essa demonstração vem direto da propriedade de linearidade da integral.
Seja: =
Considerando uma função e sua transformada de Fourier , então:
Demonstração:[3]
Para qualquer número real , se , então 
Demonstração:[4]
Fazendo e , obtemos:
Para qualquer número real , se , então 
Demonstração:
Seja: =
Usando a definição de Transformada de Fourier:[5]
Para um número real não-nulo, se , então .
Propriedades da transformada de Fourier
Propriedades básicas
Linearidade ou superposição
Deslocamento no eixo t
Translação ou deslocamento no tempo
Modulação ou deslocamento na frequência
Mudança de escala
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 2/19
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_mensur%C3%A1vel
O caso leva à propriedade da inversão temporal, a qual afirma: se , então .
Demonstração:
Seja 
Fazendo uma mudança de variável onde , temos:
Caso 1: 
Chamando de 
Caso 2: 
Chamando agora de 
Trocando por 
Usando a propriedade da inversão temporal:
Ou seja, em todos os casos:[5]
 
Se , então ou 
Em particular, se , têm-se a condição de realidade , ou seja, é uma função hermitiana.
Por outro lado, se é puramente imaginária então 
Substituindo na definição, obtém-se que , ou seja, a avaliação da transformada de Fourier na origem corresponde à integral de sobre todo o eixo.
Assim, , onde é uma função integrável tal que sua transformada de Fourier satisfaça [6]
Dada uma função diferenciável tal que 
e sua transformada de Fourier , então: 
Demonstração: de fato, usando integração por partes temos
Essa propriedade reflete o fato de que a transformada de Fourier decompõe a função em funções do tipo , cuja derivada é . De fato está propriedade poderia ter sido deduzida a
partir da representação de em sua integral de Fourier, isto é:
Muitas vezes não se pensa em nenhuma unidade como sendo anexada às duas variáveis t e ξ. Mas em aplicações físicas, ξ deve ter unidades inversas às unidades de t. Por exemplo, se t é medido
em segundos, ξ deve ser em frequência, para que as fórmulas mostradas aqui sejam válidas. Se a escala de t é alterada e t é medido na unidades de 2π segundos, então ξ deve estar na chamada
"frequência angular", ou deve-se inserir algum fator de escala constante em algumas das fórmulas. Se t é medido em unidades de comprimento, ξ deve estar no comprimento inverso. Isto e para
afirmar que existem duas cópias da linha real: uma medida em um conjunto de unidades, onde t varia, e outra em unidades inversas às unidades de t, e qual é o intervalo de ξ. Então, essas são
duas cópias distintas da linha real e não podem ser identificadas umas com as outras. Portanto, a transformada de Fourier vai de um espaço de funções para um espaço diferente de funções:
funções que têm um domínio diferente de definição.
Conjugação
Integração
Transformada da derivada
Simetria e dualidade
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 3/19
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Fun%C3%A7%C3%A3o_hermitiana&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/Frequ%C3%AAncia_angular
A função retangular e uma integral de
Lebesgue
A função Sinc , que e a transformada da
função retangular, e fixa e continua mas
não e uma integral de Lebesgue.
Em geral, ξ deve ser sempre tomado como uma forma linear no espaço de ts, o que equivale a dizer que a segunda linha real é o espaço dual da primeira linha real. Veja o artigo sobre álgebra
linear para uma explicação mais formal e para mais detalhes. Este ponto de vista torna-se essencial nas generalizações da transformada de Fourier para grupos gerais de simetria, incluindo o
caso das séries de Fourier.
Que não existe uma maneira preferida (muitas vezes, diz-se "não canônico") para comparar as duas cópias da linha real que estão envolvidas na transformada de Fourier — fixar as unidades em
uma linha não força a escala das unidades em a outra linha - é a razão para a multiplicidade de convenções rivais sobre a definição da transformada de Fourier. As várias definições resultantes
de diferentes escolhas de unidades diferem por várias constantes
Dada uma função f(t) e sua transformada F(w) então :
como antes, porem a alternativa correspondente a inversão da equação deve ser:
Para se obter uma equação com a frequência angular mas mais simétrica entre a transformada de Fourier e a equação de inversão. Comumente se a usa alternativa da transformada de Fourier,
com o fator logo:
e a equação de inversão correspondente:
Em algumas convenções incomuns, como aquelas empregadas pelo comando FourierTransform da Wolfram Language, a transformada de Fourier tem i no expoente em vez de −i, e vice-versa
para a fórmula de inversão. Muitas das identidades que envolvem a transformada de Fourier permanecem válidas naquelas convenções, desde que todos os termos que explicitamente envolvem
a substituam por −i.
Por exemplo, na teoria da probabilidade, a função característica ϕ da função de densidade de probabilidade f de uma variável aleatória X de tipo contínuo é definida sem um sinal negativo no
exponencial e, como as unidades de x são ignoradas, não há 2π:
(Na teoria das probabilidades, e na estatística matemática, o uso da transformada de Fourier-Stieltjes é preferido, porque muitas variáveis aleatórias não são do tipo contínuo, e não possuem
uma função de densidade, e é preciso tratar funções de distribuição descontínuas, ou seja, medidas que possuem "átomos".
Do ponto de vista mais elevado dos caracteres do grupo, que é muito mais abstrato, todas essas escolhas arbitrárias desaparecem, como será explicado na seção posterior deste artigo, sobre a
noção da transformada de Fourier de uma função em um grupo local compacto abeliano. .
A transformada de Fourier pode ser definida em alguns casos para funções não integráveis, mas as transformadas de Fourier de funções integráveis
possuem várias propriedades fortes.
A transformada de Fourier f̂ de qualquer função integrável f é uniformemente contínua e[7]
Pelo lema de Riemann-Lebesgue:[8]
No entanto, não precisa ser integrável. Por exemplo, a transformada de Fourier da função retangular, que é integrável, é a função sinc, que não é
integrável de Lebesgue, porque suas integrais impróprias se comportam analogamente à série harmônica alternada, convergindo para uma soma sem ser
absolutamente convergente. Geralmente não é possível escrever a transformada inversa como uma integral de Lebesgue. No entanto, quando f e são integráveis, a igualdade inversa
mantém quase todos os lugares. Ou seja, a transformada de Fourier é injetiva em L1(ℝ). (Mas se f é contínuo, então a igualdade vale para todo x.)
Artigos principais: Dualidade de Pontryagin, Teorema de Plancherel e Teorema de Parseval.
Seja f(t) uma função real ou complexa e F(w) sua transformada de Fourier, então vale a seguinte identidade:
Demonstração: Partiremos da representação da função f(t) em sua forma integral de Fourier:
e, consequentemente,
e inserimos essa expressão na integral envolvida:
Essa integral está associada ao conceito de energia total de um sinal.
Continuidade uniforme e o lema de Riemann-Lebesgue
Teorema de Parseval
29/04/2025, 11:45 Transformada de Fourier – Wikipédia, a enciclopédia livre
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 4/19
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Rectangular_function.svg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Rectangular_function.svg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_retangular
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Lebesgue
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Lebesgue
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Sinc_function_(normalized).svg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Sinc_function_(normalized).svg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_sinchttps://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_retangular
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Lebesgue
https://pt.wikipedia.org/wiki/Forma_linear
https://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_dual
https://pt.wikipedia.org/wiki/Veja
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear
https://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linear
https://pt.wikipedia.org/wiki/Frequ%C3%AAncia_angular
https://pt.wikipedia.org/wiki/Wolfram_(linguagem_de_programa%C3%A7%C3%A3o)
https://pt.wikipedia.org/wiki/Vari%C3%A1vel_aleat%C3%B3ria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_das_probabilidades
https://pt.wikipedia.org/wiki/Continuidade_uniforme
https://pt.wikipedia.org/wiki/Lema_de_Riemann-Lebesgue
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_retangular
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_sinc
https://pt.wikipedia.org/wiki/Dualidade_de_Pontryagin
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Plancherel
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Parseval
No contexto das propriedades da Transformada de Fourier, o Princípio da Incerteza expressa a seguinte estimativa:[2] , válida para uma 
real que satisfaça e que tenha como sua transformada de Fourier.
Demonstração:
1) Observa-se que: ;
2) Integra-se o segundo termo da igualdade acima utilizando o método de integração por partes onde , , e :
;
3) Usa-se a desigualdade de Cauchy-Schwarz, definida como :
;
4) Aplica-se o Teorema de Parseval:
.
E, finalmente, temos: .
Suponha que seja uma função diferenciável e ambas e sua derivada são integráveis. Então a transformada de Fourier da derivada é dada por:
Demonstração:
Por Integração por partes, obtemos:
Tendo que:
Mais amplamente, a transformada de Fourier da n-ésima derivada é dada por:
Ao aplicar a transformada de Fourier e utilizar tais propriedades, algumas equações diferenciais ordinárias podem ser transformadas em equações algébricas, que possuem complexidade
reduzida. Estas propriedades também implicam que " é suave se, e somente se, decai rapidamente para quando ". Utilizando a regra análoga para a transformada inversa de
Fourier, pode-se dizer que " decai rapidamente para quando se, e somente se, é suave".
[9]
A transformada de Fourier translada entre convolução e multiplicação de funções. Se e são funções integráveis com as transformadas de Fourier e , respectivamente, então a
transformada de Fourier da convolução é dada pelo produto das transformadas de Fourier e .
Isso significa que, se
então
Em sistemas lineares invariantes no tempo, é comum interpretar como a resposta ao impulso do sistema com como entrada e como a saída, já que substituindo a unidade de
impulso por obtém-se . Neste caso, representa a frequência de resposta do sistema.
A convergência das somas parciais da série de Fourier de uma função suave por partes em torno de um salto apresenta oscilações cujas amplitudes não convergem para zero. A convergência
ponto a ponto acontece, no entanto ao analisar o valor absoluto da diferença entre a função e a soma parcial tem-se que o valor é aproximadamente 8,9% da amplitude do salto.
Se é T-periódico e suave por partes e possui uma descontinuidade por salto, então da amplitude do salto, onde e
Princípio da incerteza
Diferenciação
Derivada da transformada
Teorema da convolução
Fenômeno de Gibbs
29/04/2025, 11:45 Transformada de Fourier – Wikipédia, a enciclopédia livre
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 5/19
https://pt.wikipedia.org/wiki/Desigualdade_de_Cauchy-Schwarz
https://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integra%C3%A7%C3%A3o_por_partes
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_suave
Fenômeno de Gibbs: Análise de Fourier: Um Livro
Colaborativo (https://www.ufrgs.br/reamat/Transfo
rmadasIntegrais/livro-af/main.html)
Diagrama espectro de magnitude da transformada
de Fourier de uma sinal 
Esse fenômeno é chamado de fenômeno de Gibbs.[10]
Diagrama de espectro da transformada de Fourier é a representação gráfica da transformada de Fourier associadas a uma função . Da
mesma forma como o diagrama de espectro da série de Fourier se divide em amplitude e fase, o diagrama de espectro da transformada de Fourier
se divide em magnitude e em fase. Ou seja, o gráfico de e a diagrama de Magnitude e o gráfico de e o diagrama de fase, onde
Diagrama de magnitude de 
Quando a transformada de uma função apresenta algum componente imaginário, para melhor analise dessa transformada é feito o diagrama da
fase para mais informações da função analisada. Com os dois diagramas é possível ter informações a mais da função sem ver ela escrita seja de forma exponencial ou trigonométrica. A fase é
calculada como (considerando A a componente imaginaria e B a componente real da função resultante da transformada) sendo usualmente representada de [-π ,π].
A forma exponencial da transformada de Fourier é definida como .[2]
Sendo uma função real, é possível separar em parcela real e imaginaria da transformada de Fourier:
Assim, e 
Com esta definição pode-se escrever a função como:
Sendo A(w) uma função par e B(w) uma função ímpar, temos:
.
Tabela de comparação entre entre as formas trigonométricas e exponencial das séries e transformadas de Fourier:[2]
Forma exponencial Forma trigonométrica
Séries de Fourier
Transformada de Fourier
Diagramas de espectro
Representações da transformada de Fourier
Forma trigonométrica
29/04/2025, 11:45 Transformada de Fourier – Wikipédia, a enciclopédia livre
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 6/19
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Main34x.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Main34x.png
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-af/main.html
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-af/main.html
https://www.ufrgs.br/reamat/TransformadasIntegrais/livro-af/main.html
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:TransformadaFDiagramaMagnetude.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:TransformadaFDiagramaMagnetude.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:GraficoDiagramaMagnitude.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:GraficoDiagramaMagnitude.png
O par de funções e exibem propriedades interessantes com relação à simetria e à paridade. Por exemplo, se for uma função par, também o é. Essas propriedades muitas vezes
ajudam na análise e inclusive no cálculo da transformada. Por exemplo, se for par, o intervalo de integração pode ser alterado para em lugar de , dobrando-se o valor
calculado da integral. Algumas relações importantes estão listadas na tabela abaixo.
Simetria dos pares de Fourier[11]
Par Par
Ímpar Ímpar
Real e par Real e par
Real e ímpar Imaginária e ímpar
Imaginária e par Imaginária e par
Complexa e par Complexa e par
Complexa e ímpar Complexa e ímpar
Real e assimétrica Hermitiana[nota 1]
Imaginária e assimétrica Anti-hermitiana[nota 2]
Hermitiana[nota 1] Real
Anti-hermitiana[nota 2] Imaginária
Outro tipo de simetria relaciona-se ao conjugado complexo de , denotado por , que só tem significado quando é um número complexo. Se denotarmos a transformada de Fourier de 
por , a transformada de será denotada por , ou seja, a reflexão com relação ao eixo do conjugado de . Os casos de interesse aparecem na tabela abaixo.
Relação dos conjugados dos pares de Fourier[12]
Real
Imaginária
Par
Ímpar
A tabela abaixo apresenta propriedades interessantes a partir dos fatos das duas tabelas anteriores.
Propriedades dos conjugados dos pares de Fourier[13]
Onde:
é a parte Real de 
é a parte Imaginária de 
Talvez a a aplicação de maior importância da transformada de Fourier seja a resolução de equações diferenciais parciais. Muitas das equações da física matemática do século XIX podem ser
tratadas desta maneira. Fourier estudou a equação do calor, a qual em uma dimensão é
Contudo, daremos um exemplo de dificuldade levemente maior, a equação da onda em uma dimensão,
Aqui, o problema não resume-se a achar uma solução: existem infinitas. A dificuldade reside no chamado "problema de contorno": encontraruma solução que satisfaça as "condições de
contorno"
Aqui, e não são funções fornecidas. Para a equação do calor, apenas uma condição de contorno pode ser fornecida(geralmente a primeira). Porém, para a equação da onda, existem
infinitas soluções que satisfazem a primeira condição de contorno. Contudo, quando as duas condições são impostas, existe apenas uma solução possível.
A dificuldade de encontrar a transformada de Fourier da solução consiste uma tarefa muito mais simples do que procurar a solução diretamente. Isso acontece porque a transformação gera
produtos a partir de diferenciação, e portanto uma equação diferencial parcial aplicada à solução original é transformada em multiplicação por funções polinomiais de duas variáveis aplicada à
função transformada. Depois que é determinada, pode-se aplicar a transformada inversa de Fourier com a finalidade de encontrar .
Utilizando a notação
Simetria e paridade
Aplicações
Análise de equações diferenciais parciais
29/04/2025, 11:45 Transformada de Fourier – Wikipédia, a enciclopédia livre
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 7/19
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_pares_e_%C3%ADmpares
https://pt.wikipedia.org/wiki/Operadores_Hermitianos
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsica_matem%C3%A1tica
e tomando a transformada de Fourier da equação, temos
A solução é dada em termos de senos e cossenos:
Impondo as condições de contorno, tem-se
Portanto,
Tomando a transformada inversa de Fourier, obtém-se
Sabe-se que
Finalmente,
[14]
A transformada de Fourier também é utilizada em ressonância magnética nuclear e em outras tipos de espectroscopia, como a infravermelha. Na ressonância magnética nuclear um sinal de
decaimento livre induzido em forma exponencial é adquirido no domínio do tempo e Fourier-transformado em uma linha com forma Lorentziana no domínio da frequência. A transformada de
Fourier também é aplicada na ressonância magnética por imagem e em espectroscopia de massas. Cientistas usaram a transformação de Fourier como base do algoritmo que pode avaliar os
objetivos de um microscópio em apenas alguns momentos, dependendo de uma única imagem. Isso pode ser especialmente valioso para os microscópios automatizados que começaram a
aparecer nos laboratórios de pesquisa.[15][16]
Dentre as aplicações nessa área, a espectrometria no Infravermelho com transformada de Fourier (FT-IR) tem sido utilizada amplamente, porque possibilita que o processo seja realizado de
forma mais ágil e sensível quando comparado com os métodos convencionais. Diferentemente da espectrometria no infravermelho usual, na FT-IR, um interferograma é gerado por se fazer uso
de dois feixes de radiação eletromagnética, o que proporciona a geração de um sinal por meio da modificação do caminho óptico entre esses feixes. Podemos converter entre si a distância do
comprimento óptico e o valor da frequência de radiação através da seguinte transformada de Fourier:
Onde é a intensidade do feixe, é a densidade espectral de potência, e é o número de onda. Na realidade, esta transformada é dividida em duas partes, e sua outra metade é a equação
a seguir:
As vantagens de utilizar a transformada de Fourier na espectrometria auxiliam a determinar compostos e materiais, como por exemplo filmes finos de carbono amorfo hidrogenado contendo
silício e dopados com flúor.
A transformada de Fourier é útil na Mecânica Quântica de duas maneiras diferentes. Para começar, a Mecânica Quântica postula a existência de pares de variáveis complementares, ligados pelo
princípio da incerteza de Heisenberg. Por exemplo, em uma dimensão, a variável espacial q de uma partícula, pode ser apenas medida pelo "operador de posição" à custa de perda de
informações sobre o momento da partícula. Portanto, o estado físico da partícula pode ser descrita por uma função, chamada "função de onda", de ou por uma função de , mas não por uma
função de duas variáveis. A variável é chamada de variável conjugada de . Na Mecânica Clássica, o estado físico de uma partícula (existente em uma dimensão, para simplificação) seria dada
atribuindo valores para ambos e simultaneamente. Assim, o conjunto de todos os estados físicos possíveis é o espaço vetorial real, bidimensional com um eixo- e um eixo- .
Em contraste, a mecânica quântica escolhe uma polarização do espaço escolhendo um subespaço de metade da dimensão, por exemplo, o eixo- , mas em vez de se considerar apenas os pontos,
converte o conjunto de todas as "funções de onda" complexas sobre esse eixo. No entanto, a escolha do eixo- é uma polarização igualmente válida, obtendo-se uma representação diferente do
conjunto de possíveis estados físicos da partícula que está relacionada com a primeira representação pela transformação de Fourier.
Fisicamente estados de realização são e assim pelo teorema Plancherel, suas transformadas de Fourier também são . (Nota-se que desde que é em unidades de distância e está em
unidades de força, a presença da constante de Planck no expoente faz com que o expoente seja adimensional, como deve ser.)
Portanto, a transformada de Fourier pode ser utilizada para passar de um modo de representar o estado da partícula, por uma função posição de onda, para uma outra maneira de representar o
estado da partícula: por uma função de impulso de onda. Há infinitas maneiras de polarizações possíveis, e todas são igualmente válidas. Ser capaz de transformar estados de uma representação
para outra às vezes é conveniente.
O outro uso da transformada de Fourier na mecânica quântica e na teoria quântica de campos é resolver a equação de onda aplicável. Na mecânica quântica não-relativística, a equação de
Schrödinger para uma função de onda variável no tempo em uma dimensão, não sujeita a forças externas, é
Espectroscopia
Mecânica quântica
29/04/2025, 11:45 Transformada de Fourier – Wikipédia, a enciclopédia livre
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 8/19
Esta equação é a mesma para a equação do calor, exceto pela presença da unidade imaginária i . Os métodos de Fourier podem ser utilizados para resolver esta equação.
Na presença de um potencial, determinado pela função de energia potencial a equação torna-se
As "soluções elementares", são os chamadas "estados estacionários " da partícula, e o algoritmo de Fourier, ainda pode ser usado para resolver o problema de contorno da evolução dado os
seus valores em . Nenhuma destas abordagens é de uso muito prático em Mecânica Quântica. Problemas de contorno e a evolução do tempo de uma função de onda não é de grande
interesse prático: são os estados estacionários os mais importantes.
Na mecânica quântica relativística, a equação de Schrödinger torna-se uma equação de onda comum na física clássica, a não ser que as ondas de valores complexos sejam consideradas. Um
exemplo simples, na ausência de interações com outras partículas ou campos, é a equação unidimensional livre de Klein - Gordon - Schroedinge - Fock , desta vez em unidades adimensionais.
Essa é, do ponto de vista matemático, a mesma que a equação de onda da física clássica resolvida acima (mas com uma onda de valor complexo, que não faz qualquer diferença nos métodos).
Isto é de grande utilidade na teoria quântica de campos: cada componente separado de Fourier de uma onda pode ser tratado como um oscilador harmônico separado e, em seguida,
quantificado. Procedimento conhecido como "segunda quantização”. Métodos de Fourier foram adaptadas para lidar também com interações não-triviais.
A transformada de Fourier é aplicada para a análise espectral de séries temporais. O sujeito de processamento estatístico de sinal geralmente não aplica-se, contudo, a transformação de Fourier
ao sinal em si. Mesmo se o sinal real é de fato transiente, têm sido encontrado em recomendação prática modelar o sinal por uma função (ou, alternativamente, um processo Estocástico) que é
estacionário no sentido que suas propriedades características são constantes no eixo temporal. A transformada deFourier de tal função não existe no sentido usual, e têm encontrado-se mais
útil para a análise de sinais do que aplicar a transformada de Fourier de sua função autocorrelata.
A autocorrelação de uma função é definida por
Esta função é uma função do atraso de tempo decorre entre os valores de a serem correlacionados.
Para muitas funções que ocorrem na prática, é uma função par do atraso de tempo e para típicos sinais que possuem ruídos ela é uniformemente contínua com um máximo em .
A função autocorrelação, mais apropriadamente chamada de função de autocovariância a não ser que seja normalizada de alguma maneira apropriada, mensura a força da autocorrelação entre
os valores de separados por um atraso no tempo. Essa é uma maneira de procurar pela autocorrelação de com o seu próprio passado. Isso é útil para outras tarefas estatísticas além da análise
dos sinais. Por exemplo, se representa a temperatura em um tempo , espera-se uma forte correlação com a temperatura com um atraso temporal de 24 horas.
Ela possui uma transformada de Fourier,
Esta transformada de Fourier é chamada de função de densidade de potência espectral de . (A não ser que todas componentes periódicas sejam primeiro filtradas de , essa integral divergirá,
porém é uma tarefa simples filtrar tais periodicidades.)
A potência espectral, como indicada por essa função de densidade , mede a quantidade de variância contribuída às informações pela frequência . Em sinais elétricos, a variância é
proporcional à potência media(energia por unidade de tempo), e portanto a potencial espectral descreve o quanto a diferença de frequências contribuem para a potência média do sinal. Este
processo é chamado de análise espectral temporal e é análogo à usual análise de variância de informações que não são séries temporais.
Conhecimento de quais frequências são mais "importantes" nesse sentido é crucial para o design apropriado de filtros e para a escolha apropriada de aparatos medidores. Também pode ser útil
para a análise científica de fenômenos responsáveis por produzir as informações.
A potência espectral de um sinal pode também ser aproximadamente medido diretamente mensurando a potência média que resta em um sinal depois que frequências externas sejam filtradas e
removidas.
Análise espectral também é uma ferramenta de sinais visuais. A potência espectral ignora todas relações de fase, o que é considerado bom para muitos propósitos, mas para sinais de vídeo
outros tipos de análise espectral devem ser empregados, ainda utilizando a transformada de Fourier como ferramenta principal.
A transformada de Fourier pode ser usada em aplicativos de celular como por exemplo Shazam . Jean Baptiste Joseph Fourier ao perceber que os sinais complicados poderiam ser representados
através da simples soma de uma série de sinais mais simples. Ele escolheu fazer isso por meio da soma de senoides. O aplicativo Shazam, possui um banco de dados com diversas frequências de
músicas gravadas, que foram transformadas em somas de senoides através de transformada de Fourier, sendo assim, reconhecer músicas de forma muito rápida. [17]
A transformada de Fourier é relacionada à transformada de Laplace , a qual também é utilizada para a solução de equações diferenciais e análise de filtros. É provável que uma função
 para a qual a integral de Fourier não convirja no eixo tenha uma transformada de Fourier complexa definida em alguma região do plano .
Por exemplo, se é de crescimento exponencial, , para constantes e , então
convergente para todo , é a transformada de Laplace bilateral.
A versão mais usual("unilateral") da transformada de Laplace é
Se também é causal, então
Além disso, ampliando a transformada de Fourier para o domínio complexo significa incluir a transformada de Laplace como um caso especial o caso de funções causais mas com a mudança
de variável 
Processamento de sinais
Aplicação em aplicativos de música
Domínio complexo
Transformada de Laplace
29/04/2025, 11:45 Transformada de Fourier – Wikipédia, a enciclopédia livre
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 9/19
https://pt.wikipedia.org/wiki/Jean_Baptiste_Joseph_Fourier
Se não possui polos para , então
pelo teorema da integral de Cauchy. Portanto, a fórmula da inversão de Fourier pode utilizar integração sobre diferentes linhas, paralelas ao eixo .
Teorema: se para e para algumas constantes e então
 para qualquer 
Esse teorema implica na fórmula de inversão de Mellin para a transformação de Laplace,
para qualquer onde é a transformada de Laplace de 
O método computacional apropriado depende principalmente de como a função matemática original é representada e da forma desejada de saída("output").
Como a definição fundamental de uma transformada de Fourier é uma integral, funções que podem ser expressadas como expressões de forma fechada("closed-form") são usualmente
computadas trabalhando a integral analiticamente para obter uma expressão de forma fechada na variável conjugada como resultado. Este método é utilizado para gerar tabelas de
transformadas de Fourier, incluindo aquelas encontradas nas tabelas abaixo.
Muitos sistemas computacionais algébricos como Matlab e Mathematica que são capazes de integração simbólica são capazes de computar as transformadas de Fourier analiticamente. Por
exemplo, para computar a transformada de Fourier de , escreve-se int cos(6*pi*t) exp(-pi*t^2) exp(-i*2*pi*f*t) from -inf to inf em Wolfram Alpha.
Se a função de entrada está em forma fechada e a função de saída desejada é uma série de pares ordenados sobre um domínio específico, então a transformada de Fourier pode ser gerada
através de integração numérica em cada valor da variável conjugada de Fourier(frequência, por exemplo) para qual o valor da variável de saída é desejado. Nota-se que este método requere
computar uma integração numérica separada para cada valor de frequência para qual o valor da transformada de Fourier é desejada. O método de integração numérica funciona em uma gama
mais ampla de funções que o método analítico, porque produz resultados para funções que não possuem integrais de Fourier de forma fechada.
Se a função de entrada é uma série de pares ordenados(por exemplo, uma série temporal a partir da mensuração de uma variável de saída repetidamente em um intervalo de tempo) então a
função de saída deve ser uma série de pares ordenados(por exemplo, um número complexo vs. frequência sobre um domínio especificado de frequências), a não ser que que certas hipóteses e
aproximações sejam adotadas, permitindo que a função de saída seja aproximada por uma expressão de forma fechada. No caso geral onde as séries de pares ordenados de entrada são
consideradas serem amostras que representam uma função contínua sobre um intervalo (amplitude vs. tempo, por exemplo), a série de pares ordenados que representam a função de saída
podem ser obtidos através de integração numérica da informação de entrada sobre o intervalo disponível em cada valor da variável conjugada de Fourier(frequência, por exemplo) para qual o
valor da transformada de Fourier é desejada.
Integração numérica explícita sobre os pares ordenados pode trazer o valor de saída da transformada de Fourier para qualquer valor desejado da variável conjugada(frequência, por exemplo),
para que um espectro possa ser produzido em qualquer tamanho de passo desejado e em qualquer raio de variável desejável para determinação precisa de amplitudes, frequências e fases.
Diferentemente das limitações nos métodos DFT e FFT, integração numérica explícita pode ter qualquer tamanho de passo desejado e computar a transformada de Fourier sobre qualquer raio
desejado da variável conjugada(por exemplo, frequência).
A fórmula de somatório de Poisson (PSF) é uma equação que relaciona os coeficientes da série de Fourier de uma função com valores da Transformada de Fourier (que é contínua) da
mesma função.
Consequentemente, o somatório periódico de uma função é definido completamente por trechos discretos da Transformadade Fourier da função original. Inversamente, o somatório periódico
da Transformada de Fourier de uma função é completamente definido por trechos discretos da função original.
O somatório de Poisson relata que, para funções suficientemente regulares ,
.
Essa expressão possui uma variedade de formas úteis encontradas na literatura, que são obtidas pela aplicação das propriedades de Mudança de Escala e Deslocamento Temporal (no eixo ). A
fórmula possui aplicações em áreas como engenharia, física e teoria dos números. A representação no domínio da frequência da fórmula de somatório de Poisson é também chamada de
Transformada de Fourier de tempo discreto.
A fórmula de somatório de Poisson é geralmente associada com a física em meios condicionados em regime periódico, como no caso do problema da condução de calor em um círculo. A solução
fundamental da equação do calor em um círculo é chamada de função teta. Ela é usada na teoria dos números para provar as propriedades de transformação das funções teta, que são um tipo de
forma modular, e é mais usualmente relacionada à teoria de formas automórficas, onde ela aparece em um dos lados da fórmula do traço de Selberg.
Para uso em computadores, seja para aplicações científicas ou em processamento digital de sinais, é preciso ter valores discretos. Para isso existe a versão da transformada para funções
discretas.
.
Um método largamente utilizado para o cálculo computacional desta versão é a Transformada rápida de Fourier (em inglês fast Fourier transform, ou FFT), cuja complexidade é O(n log n)
contra O(n2) necessários para o mesmo cálculo.
Um equipamento que utiliza a Transformada Discreta de Fourier (FDT), Transformada rápida de Fourier em computadores, é o osciloscópio. Ele consegue transformar um ou dois sinais em um
gráfico ao longo do tempo, no qual é possível analisar a tensão e outras grandezas ao longo do tempo. Entretanto, é possível analisar algumas grandezas no domínio da frequência também. Para
isso, o equipamento realizada uma FDT e passa a emitir no display as grandezas no domínio do tempo. Ao estudar o comportamento de componentes elétricos, utiliza-se usualmente o domínio
do tempo, entretanto, torna-se indispensável utilizar a FDT quando analisamos sinais. Em conjunto com a função FDT ( FFT em inglês), podemos utilizar a função cursor, no qual movemos
uma linha ao longo do display para ver a frequência de cada pico e a tensão, podendo ver quanto que cada frequência representa no sinal total.
Inversão
Métodos computacionais
Integração numérica de funções de forma fechada
Integração numérica de uma série de pares ordenados
Fórmula de somatório de Poisson (PSF)
Transformada discreta de Fourier
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 10/19
https://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_integral_de_Cauchy
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=F%C3%B3rmula_de_invers%C3%A3o_de_Mellin&action=edit&redlink=1
https://pt.wikipedia.org/wiki/MATLAB
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mathematica
https://pt.wikipedia.org/wiki/Integra%C3%A7%C3%A3o_simb%C3%B3lica
https://pt.wikipedia.org/wiki/WolframAlpha
https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_summation_formula
https://pt.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9rie_de_Fourier
https://pt.wikipedia.org/wiki/Teoria_dos_n%C3%BAmeros
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier_de_tempo_discreto
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_do_calor
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_teta
https://pt.wikipedia.org/wiki/Forma_modular
https://pt.wikipedia.org/wiki/Forma_autom%C3%B3rfica
https://en.wikipedia.org/wiki/Selberg_trace_formula
https://pt.wikipedia.org/wiki/Computador
https://pt.wikipedia.org/wiki/Processamento_digital_de_sinal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_r%C3%A1pida_de_Fourier
Osciloscópio
FFT
Nesta tabela, é a delta de Dirac, u(t) é a função de passo Heaviside, sgn(t) é a função sinal, rect(t) é a função retangular, sinc(t) é a função sinc =
 e tri(t) é a função triangular.
Tabela 1 - Alguns pares de transformadas de Fourier
As transformadas de Fourier, assim como as de Laplace, podem ser classificadas como funcionais e operacionais.
Pela integral que define a transformada de Fourier,
 , então 
Assim, a multiplicação de por uma constante corresponde à multiplicação de pela mesma constante.
A adição (subtração) no domínio do tempo corresponde à adição (subtração) no domínio da frequência. Ou seja,
então, 
A transformada de Fourier da derivada de primeira ordem de é
A derivada de ordem n de é
Estas equações somente serão válidas apenas se for zero em .
Algumas transformadas de Fourier[18][19]
Transformadas Operacionais
Multiplicação por uma constante
Adição (subtração)
Diferenciação
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 11/19
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:RIGOL_MSO7014.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:RIGOL_MSO7014.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:FFT_chirp.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:FFT_chirp.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_de_passo_Heaviside
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_sinal
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_retangular
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_sinc
https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_triangular
Se então, 
Esta equação somente é válida se 
Uma condição suficiente para que uma função possua uma transformada de Fourier é a seguinte:
Geometricamente a condição impõe que a área abaixo da curva de deve ser finita.
Essa condição não é uma restrição e sim uma garantia de que, caso satisfeita, há uma transformada de Fourier correspondente para tal função. No entanto, existem muitas outras funções que,
apesar de não satisfazerem tal condição, também possuem transformada de Fourier. Algumas funções que pertencem a essa categoria especial são apresentadas a seguir.
A transformada da função delta de Dirac é dada por:
.
Pela propriedade da filtragem:
.
Logo a transformada da função delta de Dirac é dada por:
No caso especial em que a = 0 temos:
.
Logo:
Uma função periódica pode ser representada em série de Fourier complexa da seguinte forma:
 onde e 
Aplicando a transformada de Fourier na igualdade obtemos:
A transformada de Fourier dada por é uma integral com respeito a uma variável, t nesse caso, e sendo a integral uma operação linear podemos tomar a
transformada somente em relação aos termos que envolvem t:
Para calcular partimos da expressão deduzida na seção referente a transformada da função delta de Dirac:
Aplicamos a transformada inversa:
Trocando t por -t:
(Observe que a troca de por é neutralizada pela inversão dos limites de integração de pra e vice-versa)
Agora, permutando t e w:
Fica evidente que:
Devido a paridade da função delta de Dirac:
Temos que:
Integração
Transformada de Fourier de Funções Especiais[20]
Transformada de Fourier da Função Delta de Dirac
Transformada de Fourier de uma Função Periódica
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 12/19
No entanto, pela propriedade do deslocamento no eixo de frequência, temos:
Finalmente, a transformada de Fourier de uma função periódica é dada por:
O resultado demonstra que transformada de Fourier de qualquer função periódica é uma sequência de impulsos equidistantes.
Utilizaremos a transformada de Fourier para determinar io(t) no circuito abaixo, sabendo que ig(t) vale 20 sgn(t) amperes.
Primeiramente, calcula-se a transformada de Fourier da fonte de corrente:
A função de transferência do circuito é a razão entre Io e Ig, desta maneira:
A transformada de Fourier de io(t) é a seguinte: H(ω) = Ig(ω)H(ω)
Ao expandir Io(ω) em uma soma de frações parciais, temos:
Analisando C1 e C2, obtemos:
Portanto,
Logo,a resposta para Io(t) é:
Vale observar que uma característica importante da transformada de Fourier é que ela fornece, de maneira direta, a resposta de regime permanente do circuito quando a entrada é do tipo
senoidal.
A transformada de Fourier também pode ser utilizada para a resolução de funções ordinárias. Como exemplo podemos tratar de circuitos RLC em série com o objetivo de encontrar a função de
transferência entre a tensão de saída e a tensão de entrada do circuito.
Circuito RLC
Vamos considerar como a função de transferência:
Primeiramente podemos utilizar a Lei de Kirchhoff para obter o seguinte:
Aplicação da Transformada de Fourier em problemas
Utilização da transformada de Fourier para determinar a resposta em regime transitório de circuitos elétricos
Circuitos RLC em série
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 13/19
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Circuito_exemplo_-_Transformada_de_Fourier_para_an%C3%A1lise_de_circuitos_el%C3%A9tricos.jpg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Circuito_exemplo_-_Transformada_de_Fourier_para_an%C3%A1lise_de_circuitos_el%C3%A9tricos.jpg
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Rlcc.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Rlcc.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Leis_de_Kirchhoff
Na qual e correspondem às quedas de tensão no indutor e no resistor, respectivamente. Ou seja:
 e 
Substituindo na equação obtemos:
A corrente pode ainda, ser descrita em função de y ou de x, considerando a corrente que passa no circuito como a própria corrente que passa no capacitor. Para isso utilizamos a seguinte
relação:
Substituindo na equação podemos obter:
Fazendo a transformada de Fourier nos dois lados da igualdade e aplicando o método da linearidade obtemos:
Utilizando o método da transformada da derivada segunda em , da transformada da derivada primeira em e colocando em evidência chegamos na
equação abaixo:
Isolando e substituindo-o pela função de transferência temos a equação:
Deixando em função do tempo temos:
Considere o problema evolutivo de difusão de temperatura numa barra infinita, dado pela equação de calor
Tomando a transformada de Fourier desse problema na variável x, obtemos
onde se usou a propriedade 2 da transformada da derivada.
Denotando , podemos escrever o problema de uma forma mais limpa, e
Sabendo que 
Demonstração :
obtemos então :
Essa é uma equação que pode ser resolvida por várias métodos, entre eles separação de variáveis:
onde é uma constante de integração que é calculada om a condição inicial:
Equação do calor
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 14/19
Logo,
Agora, precisamos calcular a transformada inversa de para obter a solução do problema original.
Temos que
Usando a propriedade de mudança de escala com temos
ou seja,
Aplicando esse resultado juntamente com o teorema da convolução na equação, obtemos
A difusão de temperatura numa barra infinita com um termo fonte é dada por:
Fazendo a transformada de Fourier em x temos:
Denotando , temos:
Esta equação diferencial é resolvida por fator integrante:
Fazendo a transformada inversa, temos:
Pelo teorema da convolução, temos:
Considere o fenômeno de difusão de sal ao longo de um cano longo e fino. Supondo que uma quantidade de sal foi introduzida no ponto , temos as seguintes equações:
 , com e 
Equação do calor com termo fonte
Utilização da transformada de Fourier para obter a equação da difusão do sal em uma tubulação longa
29/04/2025, 11:45 Transformada de Fourier – Wikipédia, a enciclopédia livre
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 15/19
Tubulação com uma certa quantidade de
sal introduzida no ponto x0.
Onde:
 concentração de sal
 variável espacial
 variável temporal
 Coeficente de Difusão
 quantidade de sal
 área da seção transversal
Solução: Aplica-se a transformada de Fourier:
e temos:
, onde usou-se as propriedades da linearidade, transformada da derivada (com ) e a propriedade da filtragem de Fourier.
Para facilitar o cálculo colocaremos e teremos:
Resolvemos a primeira equação (Equação diferencial ordinária) no tempo t:
e temos:
, onde 
Como e ,
Agora calculamos a solução aplicando a transformada inversa de Fourier:
 lembrando que a transformada de Fourier depende de e somente
Obs.: para seguirmos para o próximo passo é interessante lembrar que onde 
Assim temos: 
Portanto: 
Considere o problema de vibrações livres transversais de uma barra infinita governada por
 
Aplicando a transformada de Fourier e tomando a notação , obtemos:
Vibrações livres transversais
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https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 16/19
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:CanoFourier.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:CanoFourier.png
https://pt.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_de_difus%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_ordin%C3%A1ria
tendo a solução
Tomando a transformada inversa de Fourier, obtemos:
Usando o fato que
e
trocamos por para obter:
Tomando as partes real e imaginária nesta equação, obtemos que:
e
Utilizando o resultado sobre convoluções, obtemos que:
e
ou seja,
Escrevendo , obtemos:
[14]
Um arquivo de áudio, quando gravado em sua totalidade por uma gravadora, ocupa um grande espaço para seu armazenamento e, consequentemente, causa lentidão no aparelho em que será
reproduzido. A conversão feita para arquivos do tipo MP3, por exemplo, que podem ser armazenados em pequenos espaços e reproduzidos muito mais rápido, necessitam da transformada de
Fourier.
A gravação inicial de um áudio capta todas as frequências, mesmo as que quase não aparecem no som ou as que não são audíveis pelo ouvido humano. A gravação aparece como uma onda que
varia com senos e cossenos e essa onda pode ser escrita como uma função em relação ao tempo.
Supondo que a equação da gravação, que é a amostragem da função seja dada por , pode-se defini-la por: onde é o período da função inicial. Aqui a
primeira função foi reescrita como uma outra função multiplicando um delta de Dirac em todo o espaço da função analisada.
Usando-se a propriedade da filtragem para o Delta, pode-se reescrever como:
.
Ao se aplicar a transformada de Fourier na função tem-se que:
 e usando a propriedade da translação:
Curiosidades
Aplicação na conversão de gravações
29/04/2025, 11:45 Transformada de Fourier – Wikipédia, a enciclopédia livre
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 17/19
https://pt.wikipedia.org/wiki/MP3
https://pt.wikipedia.org/wiki/Delta_de_Dirac
Como a função inicial é a gravação, pode encontrar o valor de fazendo sua transformada e consequentemente pela equação acima pode-se encontrar o valor de . Com isso,
tem-se que:
Onde a função é a conversão para um arquivo muito mais leve e de fácil reprodução.
Em suma, nesse caso, a transformada consegue reconhecer as frequências que são dominantes na música e apresenta apenas as principais notas que compõe o harmônico daquele momento. Os
limites da análise, que estão variando ao infinito, na transformada são reduzidos para os limites em que a frequência pode ser ouvida pelo ouvido humano, assim, o que resta são as principais
frequências (harmônicos). A nova função tem vantagens pois será reproduzido apenas o que realmente é necessário no áudio.
Um outro exemplo é o Ogg Vorbis, formato de arquivo utilizado pelo Spotify em seu aplicativo de Desktop. O Vorbis usa uma versão computacional extremamente rápida da transformada de
Fourier, chamada de transformada discreta de cossenos. Outro aplicativo de áudio extremamente famoso: Shazam, utiliza da transformada, por meio de um banco de frequências distintas em
canções que compara com que é colocado para o mesmo ouvir.
Fones de ouvido com cancelamento de ruído utilizam datransformada de Fourier, um microfone grava o ruído do ambiente ao redor, mede o conteúdo da frequência em todo o espectro, e, em
seguida, inverte o conteúdo para adicionar um som em seu mix de áudio que irá anular todos os sons indesejados ao seu redor.[21][22]
Pode-se entender filtragem de uma imagem como suas respectivas técnicas de transformações aplicadas a cada pixel da imagem, levando em conta os níveis de cinza de uma região vizinha de
cada pixel desta imagem. Tais técnicas se dividem basicamente em duas:
Filtragem no domínio espacial
Filtragem no domínio da frequência
A filtragem no domínio frequência é baseada no teorema da convolução. Esse processamento de imagens no domínio da frequência é realizado basicamente em 3 passos:
1. A imagem é transformada do domínio espacial para o domínio da frequência, pela transformada de Fourier.
2. Operações são realizadas na imagem.
3. Para que a imagem possa ser visível ao olho humano, então ocorre o processo inverso, onde a imagem no domínio da frequência é transformada para o domínio espacial. Este último
passo é feito pela transformada inversa de Fourier.
A transformada de Fourier possui algumas propriedades que facilitam a sua utilização em aplicações computacionais, tais como: separabilidade, translação, periodicidade e simetria conjugada,
rotação, distributividade, mudança de escala, valor médio, laplaciano, convolução, correlação e amostragem. Dentre essas, a propriedade da convolução é de fundamental importância para a
compreensão das técnicas de processamento de imagens baseadas na transformada de Fourier.
De uma forma geral a convolução de uma imagem com outra imagem, forma uma terceira imagem. Essa convolução entre duas funções no domínio espacial tem como transformada a
multiplicação das transformadas das duas funções no domínio frequência. Após discretização da imagem utilizando o algoritmo FFT (Fast Fourier Transform) a imagem está convoluída com o
filtro, assim é aplicada a transformada inversa para retorno ao domínio espacial.
Uma informação importante que se pode obter pelo espectro de Fourier é a informação da força da imagem (image power), que é uma informação bastante importante quando se é necessário
determinar o filtro a ser aplicado a imagem, sendo possível determinar o quanto em percentagem a imagem será retida ou atenuada.
A filtragem mais simples utilizada é realizada através de um filtro passa faixa ou passa-banda, removendo então regiões selecionadas de frequências entre altas e baixas frequências.
Transformada de Laplace
Série de Fourier
Análise harmónica
Transformada discreta de cosseno
Transformada de Fourier de tempo discreto
Transformada de Hartley
Transformada de Hilbert
Processamento de imagem
1. Ou seja, complexa com a parte real par e a parte imaginária ímpar.
2. Ou seja, complexa com a parte real ímpar e a parte imaginária par.
1. Aspects de l’œuvre de Fourier (http://www.franceculture.co
m/emission-continent-sciences-aspects-de-l%E2%80%99o
euvre-de-fourier-les-transformees-2011-02-07.html)
émission Continent Sciences sur France Culture, 7 février
2011
2. Azevedo, Sauter, Fábio, Esequia. Análise de Fourier: Um
Livro Colaborativo (PDF). Porto Alegre-RS: UFRGS
3. Azevedo, Sauter, Fábio, Esequia. Análise de Fourier: Um
Livro Colaborativo (PDF). Porto Alegre-RS: UFRGS
4. Análise de Fourier - Apostila Matemática Aplicada UFRGS.
[S.l.: s.n.] 67 páginas
5. Azevedo, Sauter, Fábio, Esequia. Análise de Fourier: Um
Livro Colaborativo (PDF). Porto Alegre-RS: UFRGS
6. Análise de Fourier - Apostila Matemática Aplicada UFRGS.
[S.l.: s.n.] 67 páginas
7. 1934-, Katznelson, Yitzhak, (1976). An introduction to
harmonic analysis (https://www.worldcat.org/oclc/2542126)
2d corr. ed. New York: Dover Publications.
ISBN 0486633314. OCLC 2542126 (https://www.worldcat.o
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8. M., Stein, Elias (2016). Introduction to Fourier Analysis on
Euclidean Spaces (PMS-32). (https://www.worldcat.org/ocl
c/950698790) [S.l.]: Princeton University Press.
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Processamento de imagens
Ver também
Notas
Referências
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n) da transformada ou da inversa da transformada, wims.unice.fr
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Bibliografia
Ligações externas
29/04/2025, 11:45 Transformada de Fourier – Wikipédia, a enciclopédia livre
https://pt.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Fourier 19/19
http://villate.org/publications/Villate_2001_Equacoes_Diferenciais.pdf
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https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Transformada_de_Fourier&oldid=69708816