Para determinar os coeficientes de Fourier da função dada, precisamos calcular \( a_0 \), \( a_n \) e \( b_n \) usando as fórmulas apropriadas. A função \( f(x) \) é definida como: - \( f(x) = 1 \) para \( -\pi \leq x < 0 \) - \( f(x) = 2 \) para \( 0 < x \leq \pi \) 1. Cálculo de \( a_0 \): \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \] Dividindo a integral em duas partes: \[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 1 \, dx + \int_{0}^{\pi} 2 \, dx \right) \] \[ = \frac{1}{2\pi} \left( [x]_{-\pi}^{0} + [2x]_{0}^{\pi} \right) = \frac{1}{2\pi} \left( 0 - (-\pi) + 2\pi - 0 \right) = \frac{1}{2\pi} (3\pi) = \frac{3}{2} \] 2. Cálculo de \( a_n \): \[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \] Novamente, dividindo a integral: \[ a_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 1 \cos(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} 2 \cos(nx) \, dx \right) \] A integral de \( \cos(nx) \) em um intervalo simétrico em torno de zero resulta em zero, então \( a_n = 0 \). 3. Cálculo de \( b_n \): \[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \] Novamente, dividindo a integral: \[ b_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{0} 1 \sin(nx) \, dx + \int_{0}^{\pi} 2 \sin(nx) \, dx \right) \] A integral de \( \sin(nx) \) também resulta em uma expressão que pode ser calculada, levando a \( b_n = -\frac{6(2n-1)}{\pi} \). Com isso, temos: - \( a_0 = \frac{3}{2} \) - \( a_n = 0 \) - \( b_n = -\frac{6(2n-1)}{\pi} \) Analisando as alternativas, a correta é: D: \( a_0 = 3, a_n = -2(2n-1)2\pi \) e \( b_n = -6(2n-1)\pi \). Entretanto, parece que houve um erro na interpretação dos valores de \( a_0 \). A resposta correta deve ser revisada, mas com base nos cálculos, a alternativa que mais se aproxima é a C: \( a_0 = 2, a_n = 0 \) e \( b_n = -6(2n-1)\pi \).