04 2 Análise de Fourier no tempo discreto - Transformada de Fourier - Propriedades

Prévia do material em texto

Transformada de Fourier no tempo 
discreto: Propriedades
Leandro dos Santos Coelho
Pontifícia Universidade Católica do Paraná (PUCPR), Escola Politécnica
Pós-Graduação em Engenharia de Produção e Sistemas (PPGEPS), Graduação em Engenharia de Controle e Automação (Mecatrônica)
Rua Imaculada Conceição, 1155, CEP 80215-901, Curitiba, PR, Brasil
Universidade Federal do Paraná (UFPR), Graduação e Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Campus Centro Politécnico 
Av. Cel. Francisco H. dos Santos, 100, CEP 81530-000, Curitiba, PR, Brasil
e-mail: leandro.coelho@pucpr.br; lscoelho2009@gmail.com; leandro.coelho@pucpr.br
Currículo Lattes: http://buscatextual.cnpq.br/buscatextual/visualizacv.do?id=K4792095Y4
Google Scholar: https://scholar.google.com/citations?user=0X7VkC4AAAAJ&hl=pt-PT
Linkedin: https://www.linkedin.com/in/leandro-dos-santos-coelho-07a08893/
Suporte na preparação dos slides
TE739 – Prática de Docência 01/2022
PPGEE-UFPR
Doutoranda: Luiza Scapinello Aquino da Silva
Tópicos
2
Leandro dos Santos Coelho
 Séries de Fourier em tempo discreto
 Transformada de Fourier em tempo discreto
 Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto
Transformada de Fourier no tempo discreto
3
Leandro dos Santos Coelho
Análise de Fourier no tempo discreto
4
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto: Linearidade
Seja
então
Análise de Fourier no tempo discreto
5
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto: Linearidade
Exemplo
Calcule a transformada de Fourier de
Resolução:
Ω
Ω
Pela propriedade da linearidade
Ω Ω Ω
Ω
 ℱ 
Ω Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
6
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto: 
Deslocamento no tempo
Se
então
𝟎
Análise de Fourier no tempo discreto
7
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto: 
Deslocamento no tempo
Exemplo:
Utilizando o sinal como base, calcule a transformada de Fourier de .
Resolução:
𝟎
𝟑
𝟒
Como é um sinal periódico podemos calcular a transformada de Fourier utilizando a equação
Ω
Ω
Pela propriedade do deslocamento no tempo:
 ℱ 
Ω
 ℱ 
𝟎
 ℱ 
𝒏𝟎 Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
8
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto: 
Deslocamento na frequência
Se
então
Análise de Fourier no tempo discreto
9
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto: 
Deslocamento na frequência 
Exemplo:
Calcule a transformada de Fourier inversa de 
Ω
Resolução:
Ω Ω
Pela propriedade do deslocamento na frequência:
Ω
 ℱ 
(Ω )
Análise de Fourier no tempo discreto
10
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto: 
Conjugação e simetria conjugada
Se
então
onde * denota o conjugado complexo.
Caso seja real, sua transformada terá simetria conjugada.
Análise de Fourier no tempo discreto
11
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto: 
Conjugação e simetria conjugada
Exemplo:
Calcule a transformada de Fourier em tempo discreto do conjugado do sinal
Resolução:
Ω Ω Ω
Ω
Pela propriedade da conjugação
∗
 ℱ 
∗ Ω
( )
Ω ∗ Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
12
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto: 
Reflexão (ou inversão) no tempo
Se
então
Alguns livros utilizam a definição no seguinte formato:
Análise de Fourier no tempo discreto
13
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto: 
Reflexão (ou inversão) no tempo
Exemplo:
Calcule a transformada de Fourier em tempo discreto do sinal
Resolução:
Pela propriedade da reflexão no tempo:
 ℱ 
Ω
 ℱ 
Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
14
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto:
Mudança de escala no tempo
Seja um número inteiro positivo
então
Observa-se que é periódica com período porque é 
periódica com período 
Análise de Fourier no tempo discreto
15
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto:
Mudança de escala no tempo
Exemplo:
Dado o sinal , calcule a transformada de Fourier de ( )
Resolução:
Ω Ω Ω Ω( ) Ω( )
Ω
Ω Ω
Ω
Usando a propriedade de mudança na escala do tempo:
( )
 ℱ 
Ω
( )
 ℱ 
Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
16
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto:
Diferenciação em frequência 
Se
então
Análise de Fourier no tempo discreto
17
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto:
Diferenciação em frequência 
Exemplo:
Calcule a transformada de Fourier do sinal
Resolução:
Ω Ω
Ω
Ω
Ω
Ω
Pela propriedade da diferenciação em frequência:
 ℱ 
 ℱ Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
18
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto:
Diferenciação
Se
então
A sequência é denominada sequência de primeira
diferença.
Análise de Fourier no tempo discreto
19
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto:
Diferenciação
Exemplo:
Calcule a transformada de Fourier do sinal
Resolução:
Usando a propriedade da diferenciação:
 ℱ 
Ω Ω
 ℱ 
Ω
 ℱ 
Ω Ω
Análise de Fourier no tempo discreto
20
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto: Acumulação
A acumulação é a equivalente em tempo discreto da integração.
 
Análise de Fourier no tempo discreto
21
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto: Acumulação
Exemplo:
Usando a propriedade da acumulação, encontre a transformada de Fourier de
Resolução:
Ω
Usando a propriedade da acumulação:
 ℱ 
 
 ℱ 
 
Análise de Fourier no tempo discreto
22
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto: Convolução
Se
então
Análise de Fourier no tempo discreto
23
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto: Convolução
Exemplo:
Usando a propriedade da convolução, 
calcule a transformada de Fourier inversa de 
Resolução:
, , ,
,
Usando a propriedade da convolução:
 ℱ 
Análise de Fourier no tempo discreto
24
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto:
Multiplicação
Se
então
Análise de Fourier no tempo discreto
25
Leandro dos Santos Coelho
Propriedades da Transformada de Fourier em tempo discreto:
Multiplicação
Exemplo:
Seja e calcule a transformada de Fourier do sinal
Resolução:
 
( )
 
Análise de Fourier no tempo discreto
26
Leandro dos Santos Coelho
Pares de transformadas de Fourier em tempo discreto básicas:
Análise de Fourier no tempo discreto
27
Leandro dos Santos Coelho
Pares de transformadas de Fourier em tempo discreto básicas:
Exercícios
28
Análise de Fourier no tempo discreto
29
Leandro dos Santos Coelho
 Usar as propriedades da transformada de Fourier em tempo discreto 
para determinar a transformada de Fourier dos sinais a seguir.
Análise de Fourier no tempo discreto
30
Leandro dos Santos Coelho
Exercícios: Resolução do exercício 3(a)
Análise de Fourier no tempo discreto
31
Leandro dos Santos Coelho
Exercícios: Solução do exercício 3
( ) ( )
, ,
,
Análise de Fourier no tempo discreto
32
Leandro dos Santos Coelho
Exercícios: Resolução exercício 3
Ω Ω
 
33
George Bernard Shaw (1856-1950)
Irish writer. Shaw was the first person to win both a Nobel
Prize (in Literature in 1925) and an Academy Award.
Leandro dos Santos Coelho
A life spent making mistakes is not onlymore
honorable, but more useful than a life spent doing
nothing.
Frase (quote)