Determine se a equação diferencial (2???? + ????)???????? + (???? + 6????)???????? = 0 é exata. Se for exata, resolva-a.

Para determinar se a equação diferencial \( (2xy + y^2)dx + (x + 6y)dy = 0 \) é exata, precisamos verificar se a condição de exatidão é satisfeita. Uma equação diferencial da forma \( M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 \) é exata se: \[ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} \] Aqui, temos: - \( M(x, y) = 2xy + y^2 \) - \( N(x, y) = x + 6y \) Calculando as derivadas parciais: 1. \( \frac{\partial M}{\partial y} = 2x + 2y \) 2. \( \frac{\partial N}{\partial x} = 1 \) Como \( \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} \) (ou seja, \( 2x + 2y \neq 1 \)), a equação não é exata. Portanto, a equação diferencial dada não é exata. Se precisar de mais ajuda com outro tipo de equação ou método, é só avisar!