Use a definição de transformada de Laplace para calcular as transformadas das funções dadas a seguir: a) f(t) = at.

Para calcular a transformada de Laplace da função \( f(t) = at \), onde \( a \) é uma constante, utilizamos a definição da transformada de Laplace: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \] Substituindo \( f(t) = at \): \[ \mathcal{L}\{at\} = \int_0^{\infty} e^{-st} (at) \, dt \] Podemos fatorar \( a \) para fora da integral: \[ = a \int_0^{\infty} t e^{-st} \, dt \] A integral \( \int_0^{\infty} t e^{-st} \, dt \) é uma integral conhecida e seu resultado é: \[ \int_0^{\infty} t e^{-st} \, dt = \frac{1}{s^2} \] Portanto, substituindo de volta, temos: \[ \mathcal{L}\{at\} = a \cdot \frac{1}{s^2} = \frac{a}{s^2} \] Assim, a transformada de Laplace da função \( f(t) = at \) é: \[ \mathcal{L}\{at\} = \frac{a}{s^2} \]