Use a definição de transformada de Laplace para calcular as transformadas das funções dadas a seguir: f) f(t) = te2t.

Para calcular a transformada de Laplace da função \( f(t) = te^{2t} \), utilizamos a definição da transformada de Laplace: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \] Substituindo \( f(t) \): \[ \mathcal{L}\{te^{2t}\} = \int_0^{\infty} e^{-st} te^{2t} \, dt = \int_0^{\infty} te^{(2-s)t} \, dt \] Para resolver essa integral, podemos usar a fórmula da transformada de Laplace para \( t^n e^{at} \): \[ \mathcal{L}\{t^n e^{at}\} = \frac{n!}{(s-a)^{n+1}} \] No nosso caso, \( n = 1 \) e \( a = 2 \). Assim, temos: \[ \mathcal{L}\{te^{2t}\} = \frac{1!}{(s-2)^{2}} = \frac{1}{(s-2)^{2}} \] Portanto, a transformada de Laplace de \( f(t) = te^{2t} \) é: \[ \mathcal{L}\{te^{2t}\} = \frac{1}{(s-2)^{2}} \]