Para calcular a Transformada de Laplace da função \( f(t) \) dada, precisamos dividir a integral em partes, de acordo com os intervalos definidos na função. A função \( f(t) \) é definida como: - \( f(t) = -1 \) para \( 0 \leq t < \pi \) - \( f(t) = 1 \) para \( \pi \leq t < 2\pi \) - \( f(t) = t \) para \( t \geq 2\pi \) A Transformada de Laplace é dada por: \[ F(s) = L\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) dt \] Vamos calcular a integral em três partes: 1. Para \( 0 \leq t < \pi \): \[ \int_0^{\pi} e^{-st} (-1) dt = -\int_0^{\pi} e^{-st} dt = -\left[ \frac{-1}{s} e^{-st} \right]_0^{\pi} = -\left( \frac{-1}{s} e^{-s\pi} + \frac{1}{s} \right) = \frac{1}{s} (1 - e^{-s\pi}) \] 2. Para \( \pi \leq t < 2\pi \): \[ \int_{\pi}^{2\pi} e^{-st} (1) dt = \int_{\pi}^{2\pi} e^{-st} dt = \left[ \frac{-1}{s} e^{-st} \right]_{\pi}^{2\pi} = \frac{-1}{s} e^{-2s\pi} + \frac{1}{s} e^{-s\pi} = \frac{1}{s} (e^{-s\pi} - e^{-2s\pi}) \] 3. Para \( t \geq 2\pi \): \[ \int_{2\pi}^{\infty} e^{-st} t dt \] Usamos a integração por partes, onde \( u = t \) e \( dv = e^{-st} dt \). Assim, \( du = dt \) e \( v = \frac{-1}{s} e^{-st} \): \[ \int t e^{-st} dt = \left[ t \cdot \frac{-1}{s} e^{-st} \right]_{2\pi}^{\infty} + \frac{1}{s} \int e^{-st} dt \] O primeiro termo tende a zero quando \( t \to \infty \): \[ = \frac{1}{s} \left[ \frac{-1}{s} e^{-st} \right]_{2\pi}^{\infty} = \frac{1}{s^2} e^{-2\pi s} \] Agora, somamos todas as partes: \[ F(s) = \frac{1}{s} (1 - e^{-s\pi}) + \frac{1}{s} (e^{-s\pi} - e^{-2s\pi}) + \frac{1}{s^2} e^{-2\pi s} \] Simplificando, temos: \[ F(s) = \frac{1}{s} + \frac{1}{s^2} e^{-2\pi s} \] Portanto, a Transformada de Laplace da função \( f(t) \) é: \[ F(s) = \frac{1}{s} + \frac{1}{s^2} e^{-2\pi s} \] Se você tiver alternativas específicas para escolher, por favor, forneça-as para que eu possa ajudá-lo a identificar a correta!