Calcule a transformada de Laplace da função f(t) definida por partes: f(t) = {0, 0 ≤ t ≤ 3 1, 3 ≤ t ≤ 5, 0, t > 5.

Para calcular a transformada de Laplace da função \( f(t) \) definida por partes, precisamos considerar cada intervalo separadamente. A função é dada por: \[ f(t) = \begin{cases} 0 & 0 \leq t < 3 \\ 1 & 3 \leq t < 5 \\ 0 & t \geq 5 \end{cases} \] A transformada de Laplace é definida como: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \] Vamos calcular a transformada considerando os intervalos onde \( f(t) \) é diferente de zero: 1. Para \( 0 \leq t < 3 \), \( f(t) = 0 \). 2. Para \( 3 \leq t < 5 \), \( f(t) = 1 \). 3. Para \( t \geq 5 \), \( f(t) = 0 \). Assim, a integral se torna: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_3^5 e^{-st} \cdot 1 \, dt \] Agora, calculamos essa integral: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_3^5 e^{-st} \, dt = \left[ -\frac{1}{s} e^{-st} \right]_3^5 \] Calculando os limites: \[ = -\frac{1}{s} e^{-5s} + \frac{1}{s} e^{-3s} = \frac{1}{s} (e^{-3s} - e^{-5s}) \] Portanto, a transformada de Laplace da função \( f(t) \) é: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \frac{1}{s} (e^{-3s} - e^{-5s}) \]