Considere a transformada de Laplace de f(t) = tp, onde p > −1. (e) Mostre que L{t1/2} = √π/2s3/2 s > 0.

Para encontrar a transformada de Laplace de \( f(t) = t^{1/2} \), podemos usar a definição da transformada de Laplace: \[ L\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \] Substituindo \( f(t) = t^{1/2} \): \[ L\{t^{1/2}\} = \int_0^{\infty} e^{-st} t^{1/2} \, dt \] Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula da transformada de Laplace para \( t^n \): \[ L\{t^n\} = \frac{\Gamma(n+1)}{s^{n+1}} \] onde \( \Gamma \) é a função gama. Para \( n = \frac{1}{2} \): \[ L\{t^{1/2}\} = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2} + 1\right)}{s^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{s^{3/2}} \] Sabemos que \( \Gamma\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \). Portanto: \[ L\{t^{1/2}\} = \frac{\frac{\sqrt{\pi}}{2}}{s^{3/2}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2s^{3/2}} \] Assim, mostramos que: \[ L\{t^{1/2}\} = \frac{\sqrt{\pi}}{2s^{3/2}} \quad \text{para } s > 0. \]