Use a definição de transformada de Laplace para calcular as transformadas das funções dadas a seguir: e) f(t) = cosh(at).

A transformada de Laplace de uma função \( f(t) \) é dada por: \[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \, dt \] Para a função \( f(t) = \cosh(at) \), podemos usar a definição da função hiperbólica: \[ \cosh(at) = \frac{e^{at} + e^{-at}}{2} \] Assim, a transformada de Laplace fica: \[ \mathcal{L}\{\cosh(at)\} = \int_0^{\infty} e^{-st} \cosh(at) \, dt = \int_0^{\infty} e^{-st} \frac{e^{at} + e^{-at}}{2} \, dt \] Separando os termos, temos: \[ \mathcal{L}\{\cosh(at)\} = \frac{1}{2} \left( \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t} \, dt + \int_0^{\infty} e^{-(s+a)t} \, dt \right) \] Calculando cada integral: 1. Para \( \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t} \, dt \): \[ \int_0^{\infty} e^{-(s-a)t} \, dt = \frac{1}{s-a} \quad \text{(válido para } s > a\text{)} \] 2. Para \( \int_0^{\infty} e^{-(s+a)t} \, dt \): \[ \int_0^{\infty} e^{-(s+a)t} \, dt = \frac{1}{s+a} \quad \text{(válido para } s > -a\text{)} \] Substituindo de volta, temos: \[ \mathcal{L}\{\cosh(at)\} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s+a} \right) \] Colocando em um denominador comum: \[ \mathcal{L}\{\cosh(at)\} = \frac{1}{2} \left( \frac{(s+a) + (s-a)}{(s-a)(s+a)} \right) = \frac{s}{s^2 - a^2} \] Portanto, a transformada de Laplace de \( f(t) = \cosh(at) \) é: \[ \mathcal{L}\{\cosh(at)\} = \frac{s}{s^2 - a^2} \quad \text{(válido para } s > |a|\text{)} \]