A matriz quadrada A diz-se ortogonal se A.A’=A’.A=I (identidade). Verifique se           − xsenx senxx cos0 cos0 01 é uma matriz ortogonal.

Para verificar se a matriz \( A \) é ortogonal, precisamos calcular \( A \cdot A' \) e \( A' \cdot A \) e verificar se ambos resultam na matriz identidade \( I \). A matriz dada é: \[ A = \begin{pmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] A transposta \( A' \) é: \[ A' = \begin{pmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Agora, vamos calcular \( A \cdot A' \): \[ A \cdot A' = \begin{pmatrix} \cos x & -\sin x & 0 \\ \sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \cos x & \sin x & 0 \\ -\sin x & \cos x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Calculando cada elemento: 1. Primeira linha, primeira coluna: \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) 2. Primeira linha, segunda coluna: \( \cos x \sin x - \sin x \cos x = 0 \) 3. Primeira linha, terceira coluna: \( 0 \) 4. Segunda linha, primeira coluna: \( \sin x \cos x - \cos x \sin x = 0 \) 5. Segunda linha, segunda coluna: \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) 6. Segunda linha, terceira coluna: \( 0 \) 7. Terceira linha, primeira e segunda colunas: \( 0 \) 8. Terceira linha, terceira coluna: \( 1 \) Portanto, temos: \[ A \cdot A' = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I \] Agora, como \( A \cdot A' = I \), também podemos verificar \( A' \cdot A \) e, por simetria, o resultado será o mesmo. Assim, a matriz \( A \) é ortogonal.