Sendo A uma matriz quadrada de ordem 2, obtenha A sabendo-se que A.A’=0.

Seja \( A \) uma matriz quadrada de ordem 2, podemos representá-la como: \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \] Dado que \( A \cdot A' = 0 \), onde \( A' \) é a matriz transposta de \( A \), temos: \[ A' = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \] Agora, calculamos o produto \( A \cdot A' \): \[ A \cdot A' = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 & ac + bd \\ ca + db & c^2 + d^2 \end{pmatrix} \] Para que \( A \cdot A' = 0 \), todos os elementos da matriz resultante devem ser iguais a zero: 1. \( a^2 + b^2 = 0 \) 2. \( ac + bd = 0 \) 3. \( ca + db = 0 \) 4. \( c^2 + d^2 = 0 \) As equações \( a^2 + b^2 = 0 \) e \( c^2 + d^2 = 0 \) implicam que \( a = 0 \), \( b = 0 \), \( c = 0 \) e \( d = 0 \). Portanto, a única matriz \( A \) que satisfaz essa condição é: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \] Assim, a matriz \( A \) é a matriz nula.