Calcule a integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + x) \, dx \). Agora, escolha a alternativa correta: A) \( 1 \) B) \( \frac{5}{12} \) C) \( \frac{1}{2} \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + x) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( x^3 + 2x^2 + x \). 1. A antiderivada de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \). 2. A antiderivada de \( 2x^2 \) é \( \frac{2x^3}{3} \). 3. A antiderivada de \( x \) é \( \frac{x^2}{2} \). Assim, a antiderivada total é: \[ F(x) = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \] Agora, vamos calcular \( F(1) \) e \( F(0) \): \[ F(1) = \frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{1^2}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \] Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de 4, 3 e 2 é 12: \[ F(1) = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{6}{12} = \frac{17}{12} \] Agora, calculamos \( F(0) \): \[ F(0) = 0 \] Portanto, a integral é: \[ \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + x) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{17}{12} - 0 = \frac{17}{12} \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado correto. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da pergunta.