Para resolver a integral \( \int e^{-x} \cos(x) \, dx \), podemos usar o método de integração por partes ou a técnica de integrais repetidas. Vamos aplicar a técnica de integrais repetidas. Definimos: 1. \( I = \int e^{-x} \cos(x) \, dx \) 2. \( J = \int e^{-x} \sin(x) \, dx \) Usando integração por partes, temos: - Para \( I \): \[ I = e^{-x} \cos(x) + \int e^{-x} \sin(x) \, dx = e^{-x} \cos(x) + J \] - Para \( J \): \[ J = e^{-x} \sin(x) - \int e^{-x} \cos(x) \, dx = e^{-x} \sin(x) - I \] Agora, substituímos \( J \) na equação de \( I \): \[ I = e^{-x} \cos(x) + (e^{-x} \sin(x) - I) \] \[ I + I = e^{-x} \cos(x) + e^{-x} \sin(x) \] \[ 2I = e^{-x} (\sin(x) + \cos(x)) \] \[ I = \frac{1}{2} e^{-x} (\sin(x) + \cos(x)) \] Portanto, a integral \( \int e^{-x} \cos(x) \, dx \) é: \[ I = \frac{1}{2} e^{-x} (\sin(x) + \cos(x)) + C \] Agora, analisando as alternativas: A) \( e^{-x} \sin(x) + C \) B) \( e^{-x} \cos(x) + C \) C) \( e^{-x} \sin(x) - e^{-x} \cos(x) + C \) D) \( e^{-x} \sin(x) + e^{-x} \cos(x) + C \) Nenhuma das alternativas corresponde exatamente ao resultado que encontramos. No entanto, a alternativa D) \( e^{-x} \sin(x) + e^{-x} \cos(x) + C \) é a que mais se aproxima, mas não está correta em relação ao fator \( \frac{1}{2} \). Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!