Encontre o valor de z tal que z^4 = 16. A) 2 + 2i B) ±2 C) ±4i D) 0

Para resolver a equação \( z^4 = 16 \), podemos reescrever 16 como \( 2^4 \). Assim, temos: \[ z^4 = 2^4 \] Isso implica que \( z \) pode ser igual a \( 2 \) ou \( -2 \), mas também precisamos considerar as raízes complexas. As raízes quartas de um número podem ser encontradas usando a fórmula: \[ z = r^{1/n} \cdot \text{cis}\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \] onde \( r \) é o módulo e \( \theta \) é o argumento do número complexo, e \( k = 0, 1, 2, \ldots, n-1 \). No caso de \( z^4 = 16 \), temos: 1. \( r = 4 \) (porque \( 16 = 4^2 \)) 2. \( \theta = 0 \) (porque 16 está no eixo real positivo) As raízes quartas são: \[ z = 2 \text{cis}\left(\frac{2k\pi}{4}\right) = 2 \text{cis}\left(\frac{k\pi}{2}\right) \] Para \( k = 0, 1, 2, 3 \), obtemos: - \( k = 0 \): \( z = 2 \) - \( k = 1 \): \( z = 2i \) - \( k = 2 \): \( z = -2 \) - \( k = 3 \): \( z = -2i \) Portanto, as soluções são \( 2, -2, 2i, -2i \). Analisando as alternativas: A) \( 2 + 2i \) - Não é uma solução. B) \( ±2 \) - Correto, pois \( 2 \) e \( -2 \) são soluções. C) \( ±4i \) - Não é uma solução. D) \( 0 \) - Não é uma solução. A alternativa correta é: B) ±2.