UEL analises anual

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**Resposta: A)** Usando a fórmula quadrática \( z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \) 
onde \( a=1, b=2, c=5 \), temos: 
\( z = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4*1*5}}{2*1} = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = -1 \pm 2i \). 
 
5. Se \( z = re^{i\theta} \), onde \( r = 2 \) e \( \theta = \frac{\pi}{4} \), qual é a representação 
cartesiana de \( z \)? 
A) \( 2 + 2i \) 
B) \( \sqrt{2} + \sqrt{2}i \) 
C) \( 1 + i \) 
D) \( 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}i \) 
**Resposta: B)** A forma cartesiana é \( z = r(\cos \theta + i\sin \theta) \), 
Portanto, \( z = 2(\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4})) = 2(\frac{\sqrt{2}}{2} + 
i\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2} + \sqrt{2}i \). 
 
6. Qual é o resultado de \( (z_1 + z_2)(z_1 - z_2) \) se \( z_1 = 1 + i \) e \( z_2 = 2 - i \)? 
A) 5 
B) 10 
C) 6 
D) 7 
**Resposta: C)** Primeiro calculamos \( z_1 + z_2 = (1 + i) + (2 - i) = 3 \). 
Depois, \( z_1 - z_2 = (1 + i) - (2 - i) = -1 + 2i \). 
Assim, o produto é: \( (3)(-1 + 2i) = -3 + 6i \), mas a pergunta pede o módulo que é \( | -3 + 6i 
| = 7 \). 
 
7. Determine as raízes da equação \( z^3 + 8 = 0 \). 
A) \( -2 \) 
B) \( -2 + 2\sqrt{3}i \) 
C) \( -2 + 2i \) 
D) \( 2 \) 
**Resposta: B)** \( z^3 = -8 \) implica \( z = \sqrt[3]{-8} \). 
Isso resulta em 2 raízes complexas que podem ser calculadas como \( z = 2(\cos(\pi + 
2k\pi/3) + i \sin(\pi + 2k\pi/3))\), com \( k = 0, 1, 2 \). 
 
8. Calcule \( z^2 \) se \( z = 1 - i \). 
A) 2 
B) 1 
C) 0 
D) -2 
**Resposta: D)** \( (1 - i)^2 = 1 - 2i + (-1) = -2i \). 
 
9. Qual é o argumento de \( z = -3 + 4i \)? 
A) \( \frac{3\pi}{4} \) 
B) \( \frac{\pi}{2} \) 
C) \( \frac{5\pi}{4} \) 
D) \( -\frac{\pi}{4} \) 
**Resposta: C)** O argumento é \( \tan^{-1}(\frac{Im}{Re}) = \tan^{-1}(\frac{4}{-3}) \). 
Isso se encontra no segundo quadrante, portanto \( \arg(z) = \pi + \tan^{-1}(\frac{4}{3}) = 
\frac{5\pi}{4} \). 
 
10. Se \( z_1 = a + bi \) e \( z_2 = c + di \), qual é a forma simplificada de \( z_1/z_2 \)? 
A) \( \frac{ac + bd + i(ad - bc)}{c^2 + d^2} \) 
B) \( \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} \) 
C) \( \frac{(a - bi)(c + di)}{c^2 + d^2} \) 
D) \( \frac{a}{c} + \frac{b}{d} \) 
**Resposta: B)** A divisão por número complexo é realizar a multiplicação pelo 
conjugado do denominador, isso dá a expressão: 
\( z_1/z_2 = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} \). 
 
Continue a formação de perguntas até chegar a 100, considerando variações em técnicas 
de resolução, aplicação e exploração dos conceitos de números complexos. 
 
11. Se \( z = 4e^{i\frac{\pi}{3}} \), qual é a forma padrão de \( z \)? 
A) \( 2 + 2\sqrt{3}i \) 
B) \( 2 + 4i \) 
C) \( 4 + 0i \) 
D) \( -4 + 0i \) 
**Resposta: A)** A forma padrão é encontrada calculando as partes real e imaginária: 
\( z = 4(\cos(\frac{\pi}{3}) + i\sin(\frac{\pi}{3})) = 4\left(\frac{1}{2}\right) + 
4\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i = 2 + 2\sqrt{3}i \). 
 
12. Encontre o valor de \( z \) tal que \( z^4 = 16 \). 
A) \( 2 + 2i \) 
B) \( \pm 2 \) 
C) \( \pm 4i \) 
D) \( 0 \) 
**Resposta: B)** \( z^4 = 16 \) equivale a \( z = \sqrt[4]{16} = 2, -2, 2i, -2i \). 
 
13. Se \( z = 2i \), qual é o valor de \( z^3 \)? 
A) 8 
B) -8 
C) -4i 
D) 4i 
**Resposta: B)** \( (2i)^3 = 8i^3 = 8(-1) = -8 \). 
 
14. Qual é o resultado de \( \frac{1 + i}{1 - i} \)? 
A) \( 1 + i \) 
B) \( 2 \) 
C) \( i \) 
D) \( \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \) 
**Resposta: D)** Para resolver, multiplicamos pelo conjugado: 
\( \frac{(1 + i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{1 + 2i - 1}{1 + 1} = \frac{2i}{2} = i \). 
 
15. Qual é a soma das raízes da equação \( z^2 + 2z + 2 = 0 \)? 
A) \( -2 \) 
B) \( 2i \) 
C) \( 2 \)