Para determinar a segunda derivada \( \frac{d^2}{dx^2}(e^{2x} \cos(x)) \), vamos aplicar a regra do produto e a regra da cadeia. 1. Primeira Derivada: Usamos a regra do produto: \[ \frac{d}{dx}(e^{2x} \cos(x)) = e^{2x} \frac{d}{dx}(\cos(x)) + \cos(x) \frac{d}{dx}(e^{2x}) \] \[ = e^{2x}(-\sin(x)) + \cos(x)(2e^{2x}) = e^{2x}(-\sin(x) + 2\cos(x)) \] 2. Segunda Derivada: Agora, derivamos novamente: \[ \frac{d^2}{dx^2}(e^{2x} \cos(x)) = \frac{d}{dx}(e^{2x}(-\sin(x) + 2\cos(x))) \] Aplicando a regra do produto novamente: \[ = e^{2x} \frac{d}{dx}(-\sin(x) + 2\cos(x)) + (-\sin(x) + 2\cos(x)) \frac{d}{dx}(e^{2x}) \] \[ = e^{2x}(-\cos(x) - 2\sin(x)) + (-\sin(x) + 2\cos(x))(2e^{2x}) \] \[ = e^{2x}(-\cos(x) - 2\sin(x) + 2(-\sin(x) + 2\cos(x))) \] \[ = e^{2x}(-\cos(x) - 2\sin(x) - 2\sin(x) + 4\cos(x)) \] \[ = e^{2x}(3\cos(x) - 4\sin(x)) \] Agora, vamos analisar as alternativas: a) \( e^{2x}(2 \cos(x) - 2 \sin(x)) \) b) \( e^{2x}(4 \cos(x) - 2 \sin(x)) \) c) \( e^{2x}(2 \cos(x) + 2 \sin(x)) \) d) \( e^{2x}(4 \cos(x) + 2 \sin(x)) \) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado que encontramos, que é \( e^{2x}(3\cos(x) - 4\sin(x)) \). Portanto, parece que não há uma resposta correta entre as opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!