Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^5 - 5x^3 + 4) \, dx\)? A) \(0\) B) \(1\) C) \(\frac{1}{2}\) D) \(\frac{1}{3}\)

Para resolver a integral \(\int_0^1 (x^5 - 5x^3 + 4) \, dx\), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \(x^5\): \[ \int x^5 \, dx = \frac{x^6}{6} \] 2. Integral de \(-5x^3\): \[ \int -5x^3 \, dx = -\frac{5x^4}{4} \] 3. Integral de \(4\): \[ \int 4 \, dx = 4x \] Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^5 - 5x^3 + 4) \, dx = \frac{x^6}{6} - \frac{5x^4}{4} + 4x \] Agora, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ \left[ \frac{1^6}{6} - \frac{5 \cdot 1^4}{4} + 4 \cdot 1 \right] - \left[ \frac{0^6}{6} - \frac{5 \cdot 0^4}{4} + 4 \cdot 0 \right] \] Calculando: \[ = \left[ \frac{1}{6} - \frac{5}{4} + 4 \right] - [0] \] \[ = \frac{1}{6} - \frac{5}{4} + 4 \] Para somar, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo comum de \(6\) e \(4\) é \(12\): \[ = \frac{2}{12} - \frac{15}{12} + \frac{48}{12} \] \[ = \frac{2 - 15 + 48}{12} = \frac{35}{12} \] Portanto, o valor da integral \(\int_0^1 (x^5 - 5x^3 + 4) \, dx\) é \(\frac{35}{12}\). Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde a esse resultado. Você pode verificar se a pergunta ou as alternativas estão corretas.