Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (8x^3 - 4x^2 + 2) \, dx\)? A) \(1\) B) \(0\) C) \(\frac{1}{2}\) D) \(\frac{4}{3}\)

Para calcular a integral \(\int_0^1 (8x^3 - 4x^2 + 2) \, dx\), vamos integrar a função \(8x^3 - 4x^2 + 2\) em relação a \(x\). 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \(8x^3\) é \(2x^4\). - A antiderivada de \(-4x^2\) é \(-\frac{4}{3}x^3\). - A antiderivada de \(2\) é \(2x\). Portanto, a antiderivada da função é: \[ F(x) = 2x^4 - \frac{4}{3}x^3 + 2x \] 2. Avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \int_0^1 (8x^3 - 4x^2 + 2) \, dx = F(1) - F(0) \] Calculando \(F(1)\): \[ F(1) = 2(1)^4 - \frac{4}{3}(1)^3 + 2(1) = 2 - \frac{4}{3} + 2 = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12}{3} - \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \] Calculando \(F(0)\): \[ F(0) = 2(0)^4 - \frac{4}{3}(0)^3 + 2(0) = 0 \] Portanto: \[ \int_0^1 (8x^3 - 4x^2 + 2) \, dx = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \] Agora, analisando as alternativas: A) \(1\) B) \(0\) C) \(\frac{1}{2}\) D) \(\frac{4}{3}\) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado \(\frac{8}{3}\). Parece que houve um erro nas opções fornecidas. Se precisar de mais ajuda, é só avisar!