Qual é o resultado do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}\)? A) \(\frac{1}{2}\) B) 0 C) 1 D) Não existe

Para resolver o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}\), podemos usar a técnica de multiplicar pelo conjugado para simplificar a expressão. Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - 1}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 1} + 1}{\sqrt{x + 1} + 1} = \lim_{x \to 0} \frac{(\sqrt{x + 1} - 1)(\sqrt{x + 1} + 1)}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} \] O numerador se torna: \[ (\sqrt{x + 1})^2 - 1^2 = x \] Assim, a expressão se simplifica para: \[ \lim_{x \to 0} \frac{x}{x(\sqrt{x + 1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + 1} + 1} \] Agora, substituímos \(x\) por 0: \[ \frac{1}{\sqrt{0 + 1} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \] Portanto, o resultado do limite é \(\frac{1}{2}\). A alternativa correta é: A) \(\frac{1}{2}\).