Para encontrar o valor de \( \frac{d^2y}{dx^2} \) quando \( y = \sin(x^2) \), precisamos calcular a primeira e a segunda derivada. 1. Primeira derivada: Usamos a regra da cadeia: \[ \frac{dy}{dx} = \cos(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2) \] 2. Segunda derivada: Agora, derivamos \( \frac{dy}{dx} = 2x\cos(x^2) \) novamente, usando a regra do produto: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(2x\cos(x^2)) = 2\cos(x^2) + 2x\frac{d}{dx}(\cos(x^2)) \] Para derivar \( \cos(x^2) \), usamos novamente a regra da cadeia: \[ \frac{d}{dx}(\cos(x^2)) = -\sin(x^2) \cdot \frac{d}{dx}(x^2) = -\sin(x^2) \cdot 2x \] Substituindo isso na expressão da segunda derivada: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = 2\cos(x^2) + 2x(-\sin(x^2) \cdot 2x) = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2) \] Agora, reorganizando a expressão: \[ \frac{d^2y}{dx^2} = 2\cos(x^2) - 4x^2\sin(x^2) \] Comparando com as alternativas, a que mais se aproxima é: c) \( -4x^2\cos(x^2) + 2\sin(x^2) \) Portanto, a alternativa correta é: c) \( -4x^2\cos(x^2) + 2\sin(x^2) \)