Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 1) \, dx \), vamos integrar cada termo separadamente. 1. A integral de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \). 2. A integral de \( 2x^2 \) é \( \frac{2x^3}{3} \). 3. A integral de \( 1 \) é \( x \). Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^3 + 2x^2 + 1) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + x \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ \frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 1 \right] - \left[ \frac{0^4}{4} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 0 \right] \] Calculando: \[ = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 1 \] Para somar, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo entre 4 e 3 é 12: \[ = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{12}{12} = \frac{3 + 8 + 12}{12} = \frac{23}{12} \] Agora, vamos verificar as alternativas: a) \( \frac{11}{4} \) = \( \frac{33}{12} \) (não é) b) \( \frac{15}{4} \) = \( \frac{45}{12} \) (não é) c) \( \frac{13}{4} \) = \( \frac{39}{12} \) (não é) d) \( \frac{17}{4} \) = \( \frac{51}{12} \) (não é) Parece que houve um erro na soma. Vamos corrigir: \[ \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 1 = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{12}{12} = \frac{23}{12} \] Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado correto. Você precisa criar uma nova pergunta.