Para resolver a integral \( \int_0^1 x^4 e^{x^2} \, dx \), podemos usar a substituição. Vamos fazer a substituição \( u = x^2 \), o que implica que \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2\sqrt{u}} \). Quando \( x = 0 \), \( u = 0 \) e quando \( x = 1 \), \( u = 1 \). Assim, a integral se transforma em: \[ \int_0^1 x^4 e^{x^2} \, dx = \int_0^1 (u^2) e^u \frac{du}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int_0^1 u^2 e^u \, du \] Agora, precisamos calcular \( \int_0^1 u^2 e^u \, du \). Podemos usar a integração por partes, onde escolhemos \( v = e^u \) e \( dv = e^u \, du \), e \( w = u^2 \) e \( dw = 2u \, du \). A fórmula de integração por partes é: \[ \int w \, dv = wv - \int v \, dw \] Aplicando isso, temos: \[ \int u^2 e^u \, du = u^2 e^u - \int 2u e^u \, du \] Agora, precisamos calcular \( \int 2u e^u \, du \) novamente por partes. Repetindo o processo, obtemos: \[ \int 2u e^u \, du = 2u e^u - 2e^u \] Substituindo de volta, temos: \[ \int u^2 e^u \, du = u^2 e^u - (2u e^u - 2e^u) = u^2 e^u - 2u e^u + 2e^u \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ u^2 e^u - 2u e^u + 2e^u \right]_0^1 = \left[ 1^2 e^1 - 2 \cdot 1 \cdot e^1 + 2e^1 \right] - \left[ 0 \right] = e - 2e + 2e = e \] Portanto, temos: \[ \int_0^1 u^2 e^u \, du = e \] Assim, voltando à nossa integral original: \[ \int_0^1 x^4 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot e \] Agora, precisamos verificar as alternativas. Como \( e \) é aproximadamente 2.718, a integral não se encaixa exatamente em nenhuma das opções dadas. No entanto, se considerarmos que a integral é uma aproximação, a resposta correta deve ser a que mais se aproxima de \( \frac{1}{2} \cdot e \). Dentre as opções apresentadas, a que mais se aproxima é: Nenhuma das alternativas apresentadas parece correta. Você pode precisar revisar as opções ou o enunciado da questão.