Para resolver a integral \( \int_0^1 x^4 e^{x^2} \, dx \), podemos usar a substituição \( u = x^2 \). Assim, temos: 1. \( du = 2x \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2\sqrt{u}} \). 2. Quando \( x = 0 \), \( u = 0 \) e quando \( x = 1 \), \( u = 1 \). 3. A integral se transforma em: \[ \int_0^1 x^4 e^{x^2} \, dx = \int_0^1 (u^2) e^u \frac{du}{2\sqrt{u}} = \frac{1}{2} \int_0^1 u^2 e^u \, du \] Agora, precisamos calcular \( \int_0^1 u^2 e^u \, du \). Podemos usar integração por partes: 1. Seja \( v = e^u \) e \( dv = e^u \, du \). 2. Seja \( w = u^2 \) e \( dw = 2u \, du \). Usando a fórmula de integração por partes \( \int w \, dv = wv - \int v \, dw \): \[ \int u^2 e^u \, du = u^2 e^u - \int 2u e^u \, du \] Agora, precisamos calcular \( \int 2u e^u \, du \) novamente por partes: 1. Seja \( v = e^u \) e \( dv = e^u \, du \). 2. Seja \( w = 2u \) e \( dw = 2 \, du \). Assim, temos: \[ \int 2u e^u \, du = 2u e^u - \int 2 e^u \, du = 2u e^u - 2e^u \] Substituindo de volta, obtemos: \[ \int u^2 e^u \, du = u^2 e^u - (2u e^u - 2e^u) = u^2 e^u - 2u e^u + 2e^u \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ u^2 e^u - 2u e^u + 2e^u \right]_0^1 = \left[ 1^2 e^1 - 2(1)e^1 + 2e^1 \right] - \left[ 0 \right] = e - 2e + 2e = e \] Portanto, temos: \[ \int_0^1 u^2 e^u \, du = e \] Assim, voltando à nossa integral original: \[ \int_0^1 x^4 e^{x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 u^2 e^u \, du = \frac{1}{2} e \] Agora, precisamos verificar as alternativas. Como \( e \) é aproximadamente \( 2.718 \), então \( \frac{1}{2} e \) é aproximadamente \( 1.359 \). Nenhuma das alternativas apresentadas parece corresponder a esse valor. Portanto, você precisa verificar se as alternativas estão corretas ou se a integral foi interpretada corretamente. Se precisar de mais ajuda, você tem que criar uma nova pergunta.