Para calcular a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{10} \, dx \), podemos usar a substituição \( u = 1 - x^2 \). Assim, temos: 1. \( du = -2x \, dx \) ou \( dx = -\frac{du}{2\sqrt{1-u}} \). 2. Quando \( x = 0 \), \( u = 1 \) e quando \( x = 1 \), \( u = 0 \). A integral se transforma em: \[ \int_1^0 u^{10} \left(-\frac{du}{2\sqrt{1-u}}\right) = \frac{1}{2} \int_0^1 u^{10} \frac{du}{\sqrt{1-u}}. \] Essa integral pode ser resolvida usando a fórmula da integral beta ou a função beta: \[ \int_0^1 u^{m-1} (1-u)^{n-1} \, du = B(m, n) = \frac{\Gamma(m) \Gamma(n)}{\Gamma(m+n)}. \] Neste caso, temos \( m = 11 \) e \( n = \frac{1}{2} \): \[ \int_0^1 u^{10} (1-u)^{-\frac{1}{2}} \, du = B(11, \frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(11) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(11 + \frac{1}{2})}. \] Sabendo que \( \Gamma(11) = 10! \) e \( \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} \), e usando a propriedade da função gama, podemos calcular: \[ \Gamma(11 + \frac{1}{2}) = \Gamma(\frac{23}{2}) = \frac{21!!}{2^{11}} \sqrt{\pi}. \] Assim, a integral se torna: \[ \frac{1}{2} \cdot \frac{10! \cdot \sqrt{\pi}}{\frac{21!!}{2^{11}} \sqrt{\pi}} = \frac{10! \cdot 2^{11}}{2 \cdot 21!!}. \] Após simplificações, o resultado final da integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{10} \, dx \) é \( \frac{1}{11} \). Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{1}{11} \).