Para calcular a integral \( \int_0^1 (1 - x^2)^{10} \, dx \), podemos usar a substituição \( u = 1 - x^2 \), o que implica que \( du = -2x \, dx \) ou \( dx = -\frac{du}{2\sqrt{1-u}} \). Os limites de integração mudam de \( x = 0 \) para \( u = 1 \) e de \( x = 1 \) para \( u = 0 \). Assim, a integral se torna: \[ \int_1^0 u^{10} \left(-\frac{du}{2\sqrt{1-u}}\right) = \frac{1}{2} \int_0^1 u^{10} (1-u)^{-1/2} \, du \] Essa integral pode ser resolvida usando a função beta ou a fórmula de integração por partes. O resultado é: \[ \int_0^1 u^{10} (1-u)^{-1/2} \, du = B(11, \frac{1}{2}) = \frac{\Gamma(11) \Gamma(\frac{1}{2})}{\Gamma(11 + \frac{1}{2})} \] Sabendo que \( \Gamma(11) = 10! \) e \( \Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi} \), e usando a propriedade da função gama, podemos calcular. Após simplificações, o resultado da integral original é: \[ \int_0^1 (1 - x^2)^{10} \, dx = \frac{1}{11} \] Portanto, a alternativa correta é: a) \( \frac{1}{11} \).