Problema 69: Calcule \( \int_0^1 (x^4 + 3x^3 + 3x^2 + 1) \, dx \). a) \( 1 \) b) \( 2 \)

Para resolver a integral \( \int_0^1 (x^4 + 3x^3 + 3x^2 + 1) \, dx \), vamos calcular a integral de cada termo separadamente. 1. Integral de \( x^4 \): \[ \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \] 2. Integral de \( 3x^3 \): \[ \int 3x^3 \, dx = \frac{3x^4}{4} \] 3. Integral de \( 3x^2 \): \[ \int 3x^2 \, dx = x^3 \] 4. Integral de \( 1 \): \[ \int 1 \, dx = x \] Agora, somamos todas as integrais: \[ \int (x^4 + 3x^3 + 3x^2 + 1) \, dx = \frac{x^5}{5} + \frac{3x^4}{4} + x^3 + x \] Agora, avaliamos de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \left[ \frac{1^5}{5} + \frac{3 \cdot 1^4}{4} + 1^3 + 1 \right] - \left[ \frac{0^5}{5} + \frac{3 \cdot 0^4}{4} + 0^3 + 0 \right] \] Calculando: \[ = \frac{1}{5} + \frac{3}{4} + 1 + 1 \] Agora, precisamos de um denominador comum para somar: O mínimo múltiplo entre 5 e 4 é 20. Convertendo: \[ \frac{1}{5} = \frac{4}{20}, \quad \frac{3}{4} = \frac{15}{20}, \quad 1 = \frac{20}{20} \] Somando: \[ \frac{4}{20} + \frac{15}{20} + \frac{20}{20} + \frac{20}{20} = \frac{4 + 15 + 20 + 20}{20} = \frac{59}{20} \] Portanto, a integral é: \[ \frac{59}{20} = 2,95 \] Como a resposta correta não está entre as opções, parece que houve um erro na formulação da pergunta ou nas opções. No entanto, se considerarmos apenas as opções dadas, a mais próxima é a) \( 1 \) e b) \( 2 \). A resposta correta, com base no cálculo, não está nas opções. Você pode verificar se a pergunta ou as opções estão corretas.