Problema 65: Calcule \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \). a) \( 1 \) b) \( 2 \) c) \( 3 \) d) \( 0 \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx \), vamos primeiro encontrar a antiderivada da função \( x^2 + 2x + 1 \). A antiderivada é: \[ \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C \] Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1: \[ \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 \] Calculando em \( x = 1 \): \[ \frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3} \] Calculando em \( x = 0 \): \[ \frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 = 0 \] Portanto, a integral é: \[ \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx = \frac{7}{3} - 0 = \frac{7}{3} \] Nenhuma das alternativas apresentadas corresponde ao resultado correto. Você pode ter que revisar as opções ou o problema.