Problema 66: Calcule \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) \, dx \). a) \( 1 \) b) \( 2 \) c) \( 3 \) d) \( 4 \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) \, dx \), vamos integrar cada termo separadamente. 1. A integral de \( x^3 \) é \( \frac{x^4}{4} \). 2. A integral de \( 2x^2 \) é \( \frac{2x^3}{3} \). 3. A integral de \( 3x \) é \( \frac{3x^2}{2} \). 4. A integral de \( 4 \) é \( 4x \). Agora, somamos todas as integrais: \[ \int (x^3 + 2x^2 + 3x + 4) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ \frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + \frac{3 \cdot 1^2}{2} + 4 \cdot 1 \right] - \left[ \frac{0^4}{4} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} + \frac{3 \cdot 0^2}{2} + 4 \cdot 0 \right] \] Isso simplifica para: \[ \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 4 \] Agora, precisamos encontrar um denominador comum para somar essas frações. O mínimo múltiplo comum de 4, 3 e 2 é 12. Convertendo cada termo: - \( \frac{1}{4} = \frac{3}{12} \) - \( \frac{2}{3} = \frac{8}{12} \) - \( \frac{3}{2} = \frac{18}{12} \) - \( 4 = \frac{48}{12} \) Agora somamos: \[ \frac{3}{12} + \frac{8}{12} + \frac{18}{12} + \frac{48}{12} = \frac{77}{12} \] Portanto, o resultado da integral é \( \frac{77}{12} \), que não está entre as opções dadas. Parece que as alternativas não correspondem ao resultado correto da integral. Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da pergunta.