Problema 67: Calcule \( \int_0^1 (2x^2 - 2x + 1) \, dx \). a) \( 0 \) b) \( 1 \) c) \( 2 \) d) \( 3 \)

Para calcular a integral \( \int_0^1 (2x^2 - 2x + 1) \, dx \), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a antiderivada da função \( 2x^2 - 2x + 1 \): - A antiderivada de \( 2x^2 \) é \( \frac{2}{3}x^3 \). - A antiderivada de \( -2x \) é \( -x^2 \). - A antiderivada de \( 1 \) é \( x \). Portanto, a antiderivada completa é: \[ F(x) = \frac{2}{3}x^3 - x^2 + x \] 2. Avaliar a integral definida de \( 0 \) a \( 1 \): \[ \int_0^1 (2x^2 - 2x + 1) \, dx = F(1) - F(0) \] Calculando \( F(1) \): \[ F(1) = \frac{2}{3}(1)^3 - (1)^2 + (1) = \frac{2}{3} - 1 + 1 = \frac{2}{3} \] Calculando \( F(0) \): \[ F(0) = \frac{2}{3}(0)^3 - (0)^2 + (0) = 0 \] Portanto: \[ \int_0^1 (2x^2 - 2x + 1) \, dx = F(1) - F(0) = \frac{2}{3} - 0 = \frac{2}{3} \] Agora, analisando as alternativas: a) \( 0 \) b) \( 1 \) c) \( 2 \) d) \( 3 \) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado \( \frac{2}{3} \). Parece que houve um erro nas opções fornecidas. Você pode verificar se as opções estão corretas?