7. A função f(x) = { (x² + x)/(x + 1), se x ≠ -1; 2, se x = -1 } é contínua em x0 = -1? E em x0 = 0? Justifique.

Para verificar a continuidade da função \( f(x) \) em \( x_0 = -1 \) e \( x_0 = 0 \), precisamos analisar os limites e o valor da função nesses pontos. 1. Em \( x_0 = -1 \): - O valor da função é \( f(-1) = 2 \). - Precisamos calcular o limite quando \( x \) se aproxima de \(-1\): \[ \lim_{x \to -1} f(x) = \lim_{x \to -1} \frac{x^2 + x}{x + 1} \] Simplificando a função: \[ f(x) = \frac{x(x + 1)}{x + 1} = x \quad (x \neq -1) \] Portanto: \[ \lim_{x \to -1} f(x) = -1 \] - Como \( \lim_{x \to -1} f(x) \neq f(-1) \), a função não é contínua em \( x_0 = -1 \). 2. Em \( x_0 = 0 \): - O valor da função é \( f(0) = \frac{0^2 + 0}{0 + 1} = 0 \). - Calculamos o limite quando \( x \) se aproxima de \( 0 \): \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{0^2 + 0}{0 + 1} = 0 \] - Como \( \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \), a função é contínua em \( x_0 = 0 \). Resumindo: - A função não é contínua em \( x_0 = -1 \). - A função é contínua em \( x_0 = 0 \).