4. Mostre que uma função f é contínua em x0 ∈ Df se, e somente se, lim h→0 f(x0 + h) = f(x0).

Para mostrar que uma função \( f \) é contínua em \( x_0 \in D_f \) se, e somente se, \( \lim_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0) \), vamos seguir os passos: 1. Definição de continuidade: Uma função \( f \) é contínua em \( x_0 \) se: \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \] Isso significa que, para todo \( \epsilon > 0 \), existe um \( \delta > 0 \) tal que, se \( |x - x_0| < \delta \), então \( |f(x) - f(x_0)| < \epsilon \). 2. Mudança de variável: Se definirmos \( h = x - x_0 \), então \( x = x_0 + h \). Assim, quando \( x \to x_0 \), temos \( h \to 0 \). 3. Reescrevendo a condição: A condição de continuidade se torna: \[ \lim_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0) \] 4. Prova da equivalência: - (⇒) Suponha que \( f \) é contínua em \( x_0 \). Então, pela definição de continuidade, temos: \[ \lim_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0) \] - (⇐) Agora, suponha que \( \lim_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0) \). Para mostrar que \( f \) é contínua em \( x_0 \), precisamos mostrar que: \[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \] Como já vimos, ao fazer \( h = x - x_0 \), temos que \( \lim_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0) \), o que implica que \( f \) é contínua em \( x_0 \). 5. Conclusão: Portanto, mostramos que \( f \) é contínua em \( x_0 \) se, e somente se, \( \lim_{h \to 0} f(x_0 + h) = f(x_0) \). Assim, a afirmação está provada!