Considere os seguintes vetores do ℜ3 tais que v1= ( 1;2;1 ) ,v2= ( 1;0 ;2 ) e v3 = ( 1;1;0 ) , determine os valores dos escalares α, β e γ tais que o vetor v= ( 1;2;4 ) seja combinação linear de v1,v2 e v3.

α=2, β= 1 e γ = 3
α=2, β= 1 e γ = 5
α=2, β= 1 e γ = 6
α=2, β= 1 e γ = -2
α=2, β= 1 e γ = 4

Question

Considere os seguintes vetores do ℜ3 tais que v1= ( 1;2;1 ) ,v2= ( 1;0 ;2 ) e v3 = ( 1;1;0 ) , determine os valores dos escalares α, β e γ tais que...

Ed · Answer

Para determinar os valores dos escalares $ \alpha, \beta $ e $ \gamma $ tais que o vetor $ v = (1, 2, 4) $ seja uma combinação linear dos vetores $ v_1 = (1, 2, 1) $, $ v_2 = (1, 0, 2) $ e $ v_3 = (1, 1, 0) $, precisamos resolver a seguinte equação:

$$
\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3 = v
$$

Substituindo os vetores, temos:

$$
\alpha(1, 2, 1) + \beta(1, 0, 2) + \gamma(1, 1, 0) = (1, 2, 4)
$$

Isso resulta no sistema de equações:

1. $ \alpha + \beta + \gamma = 1 $ (equação das componentes x)
2. $ 2\alpha + 0\beta + \gamma = 2 $ (equação das componentes y)
3. $ \alpha + 2\beta + 0\gamma = 4 $ (equação das componentes z)

Agora, resolvendo o sistema:

Da equação 2, temos:
$$
2\alpha + \gamma = 2 \implies \gamma = 2 - 2\alpha
$$

Substituindo $ \gamma $ na equação 1:
$$
\alpha + \beta + (2 - 2\alpha) = 1 \implies -\alpha + \beta + 2 = 1 \implies \beta = \alpha - 1
$$

Agora, substituindo $ \beta $ na equação 3:
$$
\alpha + 2(\alpha - 1) = 4 \implies \alpha + 2\alpha - 2 = 4 \implies 3\alpha = 6 \implies \alpha = 2
$$

Substituindo $ \alpha $ para encontrar $ \beta $ e $ \gamma $:
$$
\beta = 2 - 1 = 1
$$
$$
\gamma = 2 - 2(2) = -2
$$

Portanto, os valores são:
$$
\alpha = 2, \beta = 1, \gamma = -2
$$

A resposta correta é: **α=2, β=1 e γ=-2**.

Ed · Answer

Para determinar os valores dos escalares α, β e γ de modo que o vetor v = (1;2;4) seja uma combinação linear de v1 = (1;2;1), v2 = (1;0;2) e v3 = (1;1;0), basta resolver o sistema de equações lineares formado pelas coordenadas dos vetores.

Assim, temos:
α + β + γ = 1
2α + 0β + γ = 2
α + 2β + 0γ = 4

Resolvendo esse sistema, encontramos que os valores dos escalares são: α = 2, β = 1 e γ = 1. Portanto, a opção correta é: α = 2, β = 1 e γ = 1.

Geometria Analítica

Teste 01

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