Combinação e Dependência Linear

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Disciplina: Álgebra Linear e Geometria Analítica I 
Professora: Flávia Faria 
 
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COMBINAÇÃO LINEAR 
Sejam os vetores �⃗�1, �⃗�2, … , �⃗�𝑛 do espaço vetorial 𝕍 e os escalares 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛. Qualquer vetor �⃗⃗⃗� ∈ 𝕍 
da forma: 
 
�⃗⃗⃗� = 𝑎1�⃗�1 + 𝑎2�⃗�2 + ⋯ + 𝑎𝑛�⃗�𝑛 
 
é uma combinação linear dos vetores �⃗�1, �⃗�2, … , �⃗�𝑛. 
 
EXEMPLO 1: 
Responda: 
a) O vetor �⃗� = (1, 2) é combinação linear dos vetores �⃗�1 = (3, 2) e �⃗�2 = (1, 0)? 
SOLUÇÃO: 
Se o vetor �⃗� é combinação linear dos vetores �⃗�1 e �⃗�2, então existem escalares 𝑎1, 𝑎2 ∈ ℝ tais que 
 
�⃗� = 𝑎1�⃗�1 + 𝑎2�⃗�2 
 
Nosso objetivo, portanto, será determinar os escales 𝑎1 e 𝑎2. 
�⃗� = 𝑎1�⃗�1 + 𝑎2�⃗�2 
(1, 2) = 𝑎1(3, 2) + 𝑎2(1, 0) 
(1, 2) = (3𝑎1 + 𝑎2, 2𝑎1) 
 
Aplicando a igualdade de vetores na última equação, chegamos ao seguinte sistema linear: 
{
3𝑎1 + 𝑎2 = 1
2𝑎1 = 2
 
Do sistema acima, determinamos que 𝑎1 = 1 e 𝑎2 = −2. 
 
Como conseguimos determinar os escalares 𝑎1 e 𝑎2, o vetor �⃗� é combinação linear dos vetores �⃗�1 e �⃗�2 
e escrevemos 
�⃗� = �⃗�1 − 2�⃗�2 
 
b) Mostre que o vetor �⃗� = (2, 3, 4) não é combinação linear de �⃗�1 = (0, 0, 1) e �⃗�2 = (1, 1, 0). 
SOLUÇÃO: 
Devemos mostrar que não existem escalares 𝑎1, 𝑎2 ∈ ℝ que satisfaçam a condição: 
 
�⃗� = 𝑎1�⃗�1 + 𝑎2�⃗�2 
Sendo assim, 
�⃗� = 𝑎1�⃗�1 + 𝑎2�⃗�2 
 
 
 
 
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(2, 3, 4) = 𝑎1(0, 0, 1) + 𝑎2(1, 1, 0) 
(2, 3, 4) = (𝑎2, 𝑎2, 𝑎1) 
 
Aplicando a igualdade de vetores na última equação, chegamos ao seguinte sistema linear 
{
𝑎2 = 2
𝑎2 = 3
𝑎1 = 4
 
O sistema acima é impossível, uma vez que 𝑎2 = 2 e 𝑎2 = 3, o que é impossível. 
 
Portanto, �⃗� não é combinação linear dos vetores �⃗�1 e �⃗�2. 
 
SUBESPAÇO VETORIAL GERADO E CONJUNTO GERADOR 
Vimos, no item b do exemplo anterior, que o vetor �⃗� = (2, 3, 4) não é combinação linear dos vetores 
�⃗�1 = (0, 0, 1) e �⃗�2 = (1, 1, 0). Porém, que vetores podem ser escritos como combinação linear dos vetores �⃗�1 
e �⃗�2? 
 
DEFINIÇÃO: 
Seja 𝕍 um espaço vetorial. Consideremos um conjunto 𝔸 = {�⃗�1, �⃗�2, … , �⃗�𝑛} ⊂ 𝕍, 𝔸 ≠ ∅. 
O conjunto 𝕊 de todos os vetores do 𝕍 que são combinações lineares dos vetores de 𝔸 é um subespaço 
vetorial de 𝕍. 
 
De fato, se 
�⃗⃗� = 𝑎1�⃗�1 + 𝑎2�⃗�2 + ⋯ 𝑎𝑛�⃗�𝑛 e �⃗� = 𝑏1�⃗�1 + 𝑏2�⃗�2 + ⋯ + 𝑏𝑛�⃗�𝑛 
são dois vetores quaisquer de 𝕊, pode-se escrever 
�⃗⃗� + �⃗� = (𝑎1 + 𝑏1)�⃗�1 + (𝑎2 + 𝑏2)�⃗�2 + ⋯ + (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)�⃗�𝑛 
𝛼�⃗⃗� = (𝛼𝑎1)�⃗�1 + (𝛼𝑎2)�⃗�2 + ⋯ + (𝛼𝑎𝑛)�⃗�𝑛 
 
Tendo em vista que �⃗⃗� + �⃗� ∈ 𝕊 e que 𝛼�⃗⃗� ∈ 𝕊, por serem combinações lineares de �⃗�1, �⃗�2, … , �⃗�𝑛, conclui-
se que 𝕊 é um subespaço vetorial de 𝕍. 
 
Simbolicamente, o subespaço 𝕊 é: 
𝕊 = {�⃗� ∈ 𝕍|�⃗� = 𝑎1�⃗�1 + 𝑎2�⃗�2 + ⋯ + 𝑎𝑛�⃗�𝑛; 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑛 ∈ ℝ} 
 
 
 
 
 
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OBSERVAÇÕES: 
1. O subespaço 𝕊 diz-se gerado pelos vetores �⃗�1, �⃗�2, … , �⃗�𝑛, ou gerado pelo conjunto 𝔸, e representa-se 
por: 𝕊 = [�⃗�1, �⃗�2, … , �⃗�𝑛]. 
 
Os vetores �⃗�1, �⃗�2, … , �⃗�𝑛 são chamados geradores do subespaço 𝕊, enquanto 𝔸 é o conjunto 
gerador de 𝕊; 
 
2. Para o caso particular 𝔸 = ∅, define-se: [∅] = {�⃗⃗⃗�}. 
 
3. 𝔸 ⊂ 𝕊, ou seja, {�⃗�1, �⃗�2, … , �⃗�𝑛} ⊂ [�⃗�1, �⃗�2, … , �⃗�𝑛]. 
 
4. Todo conjunto 𝔸 ⊂ 𝕍 gera um subespaço vetorial de 𝕍, podendo ocorrer 𝕊 = 𝕍. Neste caso, 𝔸 é um 
conjunto gerador de 𝕍. 
 
EXEMPLO 2: 
Resolva: 
a) Qual é o subespaço gerado pelo conjunto 𝔸 = {(3, 2)}? Represente-o geometricamente. 
SOLUÇÃO: 
Estamos procurando todos os vetores �⃗� = (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 tais que �⃗� = 𝛾(3, 2). Desse modo, 
�⃗� = 𝛾(3, 2) 
(𝑥, 𝑦) = 𝛾(3, 2) 
(𝑥, 𝑦) = (3𝛾, 2𝛾) 
 
Pela igualdade de vetores, temos 
{
𝑥 = 3𝛾
𝑦 = 2𝛾
⇒ 𝑦 =
2
3
𝑥 (verifique!!) 
 
Sendo assim, o subespaço gerado pelo conjunto 𝔸 é o conjunto 𝕊 tal que 
𝕊 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2|𝑦 =
2
3 𝑥} 
 
Graficamente, 𝕊 é representado por uma reta que passa pela origem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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b) Sejam os vetores �⃗�1 = (1, 1, 1), �⃗�2 = (1, 2, 0) e �⃗�3 = (1, 3, −1). Determine 𝑘, 𝑘 ∈ ℝ, de modo que 
�⃗� = (3, −1, 𝑘) ∈ [�⃗�1, �⃗�2, �⃗�3]. 
SOLUÇÃO: 
Devemos escrever �⃗� como combinação linear dos vetores �⃗�1, �⃗�2 e �⃗�3 para que �⃗� ∈ [�⃗�1, �⃗�2, �⃗�3]. 
�⃗� = 𝛼�⃗�1 + 𝛽�⃗�2 + 𝛾�⃗�3 
(3, −1, 𝑘) = 𝛼(1, 1, 1) + 𝛽(1, 2, 0) + 𝛾(1, 3, −1) 
(3, −1, 𝑘) = (𝛼 + 𝛽 + 𝛾, 𝛼 + 2𝛽 + 3𝛾, 𝛼 − 𝛾) 
 
Pela igualdade de vetores, temos que 
{
𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 3
𝛼 + 2𝛽 + 3𝛾 = −1
𝛼 − 𝛾 = 𝑘
 
 
Resolvendo o sistema acima pela eliminação gaussiana, temos 
(
1 1 1
1 2 3
1 0 −1
|
3
−1
𝑘
) 
𝐿2 ← 𝐿2 − 𝐿1
𝐿3 ← 𝐿3 − 𝐿1
 
 
(
1 1 1
0 1 2
0 −1 −2
|
3
−4
𝑘 − 3
) 𝐿3 ← 𝐿3 + 𝐿2 
 
(
1 1 1
0 1 2
0 0 0
|
3
−4
𝑘 − 7
) 
 
Pela última linha da matriz, vem: 𝑘 − 7 = 0 ∴ 𝒌 = 𝟕. 
 
DEPENDÊNCIA LINEAR 
EXEMPLO 3: 
Resolva: 
a) Escreva o vetor �⃗⃗⃗� = (0, 0) como combinação linear dos vetores �⃗�1 = (4, −1), �⃗�2 = (0, 2) e �⃗�3 =
(3, 3). 
SOLUÇÃO: 
Para escrever o vetor nulo como combinação linear dos vetores �⃗�1, �⃗�2, �⃗�3, devemos encontrar escalares 
𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ ℝ que satisfaçam a condição: 
 
�⃗⃗⃗� = 𝛼�⃗�1 + 𝛽�⃗�2 + 𝛾�⃗�3 (∗) 
 
 
 
 
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Evidentemente, se fizermos 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 0, estaremos escrevemos o vetor nulo como combinação 
linear dos vetores dados. Entretanto, podemos encontrar outros escalares que tornem a condição acima 
verdadeira, observe: 
 
�⃗⃗⃗� = 𝛼�⃗�1 + 𝛽�⃗�2 + 𝛾�⃗�3 
(0, 0) = 𝛼(4, −1) + 𝛽(0, 2) + 𝛾(3, 3) 
(0, 0) = (4𝛼 + 3𝛾, −𝛼 + 2𝛽 + 3𝛾) 
 
Pela igualdade de vetores, temos: {
4𝛼 + 3𝛾 = 0
−𝛼 + 2𝛽 + 3𝛾 = 0
. Como o sistema tem três incógnitas e duas 
equações, ele é possível e indeterminado (SPI). Sua solução geral é dada por: 
 
𝑆 = {(−
3
4 𝛾, −
15
8 𝛾) |𝛾 ∈ ℝ} 
 
Faça um teste! Atribua valores a 𝛾 e verifique que (∗) sempre será válida para 𝛼, 𝛽 ∈ 𝑆. 
 
b) Agora, escreva o vetor nulo do ℝ3, �⃗⃗⃗� = (0, 0, 0), como combinação linear dos vetores de 𝔸 =
{(1, 3, −2), (−2, 6, 4)}. 
SOLUÇÃO: 
Vamos, novamente, encontrar os escalares 𝛼, 𝛽 ∈ ℝ que satisfaçam a condição: 
 
�⃗⃗⃗� = 𝛼(1, 3, −2) + 𝛽(−2, 6, 4) 
 
Sendo assim, 
�⃗⃗⃗� = 𝛼(1, 3, −2) + 𝛽(−2, 6, 4) 
(0, 0, 0) = (𝛼 − 2𝛽, 3𝛼 + 6𝛽, −2𝛼 + 4𝛽) 
 
Pela igualdade de vetores, temos: {
𝛼 − 2𝛽 = 0
3𝛼 + 6𝛽 = 0
−2𝛼 + 4𝛽 = 0
. Realizando as simplificações, acharemos que 𝛼 =
2𝛽 e 𝛼 = −2𝛽 (verifique!), o que é um absurdo. Todavia, por se tratar de um sistema homogêneo, 
esse sistema tem solução: a solução trivial – 𝑆 = {(0, 0)}. 
 
Desse modo, a única maneira de validar (∗∗) é se escolhermos 𝛼 = 𝛽 = 0. 
 
Com esses dois exemplos iniciais, demos luz ao conceito de dependência linear. Vamos formalizá-lo 
através da definição a seguir. 
 
(∗∗) 
 
 
 
 
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DEFINIÇÃO: 
Seja 𝕍 um espaço vetorial e 𝔸 = {�⃗�1, �⃗�2, … , �⃗�𝑛} ⊂ 𝕍 um conjunto não vazio. Consideremos a equação: 
 
𝑎1�⃗�1 + 𝑎2�⃗�2 + ⋯ + 𝑎𝑛�⃗�𝑛 = �⃗⃗⃗� 
 
Sabemos que essa equação admite pelo menos uma solução: 
 
𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 = 0 
chamada solução trivial. 
O conjunto 𝔸 diz-se linearmente independente (LI), ou os vetores �⃗�1, �⃗�2, … , �⃗�𝑛 são LI, caso a equação 
acima admita APENAS a solução trivial. 
Se existirem outras soluções 𝑎𝑖 ≠ 0, diz-se que o conjunto 𝔸 é linearmente dependente (LD), ou que 
os vetores �⃗�1, �⃗�2, … , �⃗�𝑛 são LD. 
 
EXEMPLOS: 
1. No espaço vetorial 𝕍 = ℝ3, os vetores �⃗�1 = (2, −1, 3), �⃗�2 = (−1, 0, −2) e �⃗�3 = (2, −3, 1) formam 
um conjunto linearmente dependente, pois3�⃗�1 + 4�⃗�2 − �⃗�3 = �⃗⃗⃗� 
 
ou seja, 3(2, −1, 3) + 4(−1, 0, −2) − (2, −3, 1) = (0, 0, 0). 
 
2. Mostre que no espaço vetorial ℳ2×2, o conjunto 
 
𝔸 = {[
−1 2
−3 1
] , [
2 −3
3 0
] , [
3 −4
3 1
]} 
é LD. 
 
PROVA A CARGO DO LEITOR! 
 
3. Em ℝ2, o conjunto 𝔸 = {(1, 0), (0, 1), (2, 3)} é LD. Verifique. 
 
PROVA A CARGO DO LEITOR! 
 
 
 
 
 
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Os dois últimos exemplos acima ilustram o fato de que, sendo 𝔸 um conjunto LD, então um vetor de 
𝔸 é combinação linear dos outros. Esse fato e sua recíproca constituem os seguintes teoremas: 
 
TEOREMA 1: Um conjunto 𝔸 = {�⃗�1, �⃗�2, … , �⃗�𝑛} é linearmente dependente se, e somente se, pelo menos um 
dos vetores de 𝔸 puder ser escrito como combinação linear dos outros vetores de 𝔸. 
 
TEOREMA 2: Um conjunto 𝔸 = {�⃗�1, �⃗�2, … , �⃗�𝑛} é linearmente independente se, e somente se, nenhum dos 
vetores de 𝔸 puder ser escrito com combinação linear dos outros vetores de 𝔸. 
 
Esses teoremas são equivalentes. Faremos a demonstração apenas do primeiro. 
A demonstração é constituída de duas partes: 
 
1. Seja 𝔸 linearmente dependente. Então, por definição, um dos coeficientes da igualdade 
 
𝑎1�⃗�1 + 𝑎2�⃗�2 + ⋯ + 𝑎𝑖�⃗�𝑖 + ⋯ + 𝑎𝑛�⃗�𝑛 = �⃗⃗⃗� 
 
deve ser diferente de zero. Supondo que 𝑎𝑖 ≠ 0, vem 
 
𝑎𝑖 �⃗�𝑖 = −𝑎1�⃗�1 − 𝑎2�⃗�2 − ⋯ − 𝑎𝑖−1�⃗�𝑖−1 − 𝑎𝑖+1�⃗�𝑖+1 − 𝑎𝑛�⃗�𝑛 
 
ou: 
 
�⃗�𝑖 = −
𝑎1
𝑎𝑖
�⃗�1 −
𝑎2
𝑎𝑖
�⃗�2 − ⋯ −
𝑎𝑖−1
𝑎𝑖
�⃗�𝑖−1 −
𝑎𝑖+1
𝑎𝑖
�⃗�𝑖+1 −
𝑎𝑛
𝑎𝑖
�⃗�𝑛 
 
e, portanto, �⃗�𝑖 é combinação linear dos outros vetores. 
 
2. Por outro lado, seja �⃗�𝑖 uma combinação linear dos outros vetores: 
 
�⃗�𝑖 = 𝑏1�⃗�1 + 𝑏2�⃗�2 + ⋯ + 𝑏𝑖−1�⃗�𝑖−1 + 𝑏𝑖+1�⃗�𝑖+1 + ⋯ + 𝑏𝑛�⃗�𝑛 
 
ou, ainda: 
 
𝑏1�⃗�1 + 𝑏2�⃗�2 + ⋯ + 𝑏𝑖−1�⃗�𝑖−1 − 1�⃗�𝑖 + 𝑏𝑖+1�⃗�𝑖+1 + ⋯ + 𝑏𝑛�⃗�𝑛 = �⃗⃗⃗� 
 
e, portanto, a equação acima se verifica para 𝑏𝑖 ≠ 0. No caso, 𝑏𝑖 = −1. Logo, 𝔸 é LD. 
 
 
 
 
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OBSERVAÇÕES: 
1. Um conjunto finito de vetores que contém o vetor nulo é linearmente dependente. 
 
2. Um conjunto com exatamente dois vetores é linearmente dependente se, e somente se, um vetor é 
múltiplo escalar do outro. 
 
3. Seja 𝕍 um espaço vetorial e 𝔸 = {�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�} ⊂ 𝕍. Se 𝔸 é linearmente independente, então o conjunto 
{�⃗⃗� + �⃗�, �⃗� + �⃗⃗⃗�, �⃗⃗� + �⃗⃗⃗�} também é. 
 
De fato, suponha 
 
𝑎1(�⃗⃗� + �⃗�) + 𝑎2(�⃗� + �⃗⃗⃗�) + 𝑎3(�⃗⃗� + �⃗⃗⃗�) = �⃗⃗⃗� 
(𝑎1 + 𝑎3)�⃗⃗� + (𝑎1 + 𝑎2)�⃗� + (𝑎2 + 𝑎3)�⃗⃗⃗� = �⃗⃗⃗� 
 
Como {�⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗�} é LI, então os coeficientes de �⃗⃗�, �⃗�, �⃗⃗⃗� são nulos 
 
{
𝑎1 + 𝑎3 = 0
𝑎1 + 𝑎2 = 0
𝑎2 + 𝑎3 = 0
⇒ 𝒂𝟏 = 𝒂𝟐 = 𝒂𝟑 = 𝟎 
 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DEPENDÊNCIA LINEAR: 
Nos gráficos a seguir, apresentamos uma interpretação geométrica da dependência linear de dois e três 
vetores no ℝ3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Observe, agora, que um conjunto de dois vetores, em ℝ2 é linearmente dependente se, e somente se, 
estão numa mesma reta quando colocados com seus pontos iniciais na origem.