Para determinar \( T(5,3,-2) \) usando a transformação linear \( T \) e a base \( B = (v_1, v_2, v_3) \), precisamos expressar o vetor \( (5,3,-2) \) como uma combinação linear dos vetores da base \( B \). Os vetores da base são: - \( v_1 = (0,1,0) \) - \( v_2 = (1,0,1) \) - \( v_3 = (1,1,0) \) Vamos escrever \( (5,3,-2) \) como: \[ (5,3,-2) = a v_1 + b v_2 + c v_3 \] Substituindo os vetores: \[ (5,3,-2) = a(0,1,0) + b(1,0,1) + c(1,1,0) \] \[ = (b+c, a+c, a) \] Isso nos dá o seguinte sistema de equações: 1. \( b + c = 5 \) 2. \( a + c = 3 \) 3. \( a = -2 \) Agora, substituímos \( a = -2 \) na segunda equação: \[ -2 + c = 3 \] \[ c = 5 \] Substituímos \( c = 5 \) na primeira equação: \[ b + 5 = 5 \] \[ b = 0 \] Portanto, temos: - \( a = -2 \) - \( b = 0 \) - \( c = 5 \) Agora, podemos usar esses coeficientes para encontrar \( T(5,3,-2) \): \[ T(5,3,-2) = a T(v_1) + b T(v_2) + c T(v_3) \] \[ = -2 T(v_1) + 0 T(v_2) + 5 T(v_3) \] \[ = -2(1,-2) + 0(3,1) + 5(0,2) \] \[ = (-2, 4) + (0, 0) + (0, 10) \] \[ = (-2, 4 + 10) \] \[ = (-2, 14) \] Portanto, a resposta é: \[ T(5,3,-2) = (-2, 14) \]