Para determinar uma condição entre \( a \), \( b \) e \( c \) para que o vetor \( at^2 + bt + c \) seja uma combinação linear de \( p_2(t) = t + 2 \) e \( p_3(t) = 2t^2 - t \), precisamos expressar \( at^2 + bt + c \) como uma combinação linear dos vetores \( p_2 \) e \( p_3 \). Podemos escrever: \[ at^2 + bt + c = \alpha (t + 2) + \beta (2t^2 - t) \] onde \( \alpha \) e \( \beta \) são escalares. Expandindo a combinação linear, temos: \[ \alpha (t + 2) + \beta (2t^2 - t) = \beta (2t^2) + (\alpha - \beta)t + 2\alpha \] Agora, igualando os coeficientes de \( t^2 \), \( t \) e a constante, obtemos o seguinte sistema de equações: 1. Para \( t^2 \): \( a = 2\beta \) 2. Para \( t \): \( b = \alpha - \beta \) 3. Para a constante: \( c = 2\alpha \) Agora, podemos expressar \( \alpha \) e \( \beta \) em termos de \( a \), \( b \) e \( c \): Da primeira equação, temos: \[ \beta = \frac{a}{2} \] Substituindo \( \beta \) na segunda equação: \[ b = \alpha - \frac{a}{2} \implies \alpha = b + \frac{a}{2} \] Substituindo \( \alpha \) na terceira equação: \[ c = 2\left(b + \frac{a}{2}\right) = 2b + a \] Portanto, a condição que relaciona \( a \), \( b \) e \( c \) para que \( at^2 + bt + c \) seja uma combinação linear de \( p_2 \) e \( p_3 \) é: \[ c = 2b + a \]