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Verifique se W = {p(t) ∈ P2; p(1) = 0} é subespaço de P2.

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Para verificar se \( W = \{ p(t) \in P_2; p(1) = 0 \} \) é um subespaço de \( P_2 \), precisamos checar três condições: 1. Contém o vetor nulo: O polinômio nulo \( p(t) = 0 \) pertence a \( W \) porque \( p(1) = 0 \). 2. Fechamento sob adição: Se \( p_1(t) \) e \( p_2(t) \) estão em \( W \), então \( p_1(1) = 0 \) e \( p_2(1) = 0 \). Precisamos verificar se \( p_1(t) + p_2(t) \) também está em \( W \): \[ (p_1 + p_2)(1) = p_1(1) + p_2(1) = 0 + 0 = 0. \] Portanto, \( p_1(t) + p_2(t) \in W \). 3. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se \( p(t) \in W \) e \( c \) é um escalar, precisamos verificar se \( c \cdot p(t) \) está em \( W \): \[ (c \cdot p)(1) = c \cdot p(1) = c \cdot 0 = 0. \] Portanto, \( c \cdot p(t) \in W \). Como todas as três condições são satisfeitas, podemos concluir que \( W \) é um subespaço de \( P_2 \).

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Seja V o primeiro quadrante do plano xy, ou seja, V = {(x, y) |x ≥ 0, y ≥ 0}.
Mostre que se u e v são vetores em V, então u + v pertence em V. No entanto, podemos determinar um vetor w ∈ V e um escalar c de tal maneira que cw não pertence a V. Assim, concluímos que V não é um subespaço vetorial de R2.

Dê um contraexemplo para provar que o subconjunto H = {(x, y) |x2 + y2 ≤ 1} ⊂ R2 não é subespaço vetorial.

O deslocamento y de uma massa m, presa na extremidade de uma mola puxada para baixo e liberada, em relação à sua posição de repouso é dado por uma função da forma y(t) = c1 cos(ωt) + c2 sen(ωt).
Sabendo que ω é uma constante, mostre que o conjunto de todas as funções descritas por (1), com ω fixo e c1 e c2 arbitrários, é um subespaço vetorial do espaço das funções contínuas.

Explique o porquê Rn−1 não é subespaço vetorial Rn, n ≥ 2.

Verifique se W = {(x, y) ∈ R2|x = y} é subespaço de R2.

Verifique se W = {(x, y, z) ∈ R3|z = x2 + y2} é subespaço de R3.

Verifique se W = {(x, y, z, t) ∈ R4;x + y = 0 e z − t = 0} é subespaço de R4.

Verifique se W = {A ∈M(2, 2) : det(A) = 1} é subespaço de M(2, 2).

Verifique se W = {A ∈M(3, 3)|A é simétrica} é subespaço de M(3, 3).