Verifique se W = {(x, y, z) ∈ R3|z = x2 + y2} é subespaço de R3.

Para verificar se \( W = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 | z = x^2 + y^2\} \) é um subespaço de \( \mathbb{R}^3 \), precisamos checar três condições: 1. Contém o vetor nulo: O vetor nulo em \( \mathbb{R}^3 \) é \( (0, 0, 0) \). Para \( (0, 0, z) \) estar em \( W \), precisamos que \( z = 0^2 + 0^2 = 0 \). Portanto, \( (0, 0, 0) \in W \). 2. Fechamento sob adição: Precisamos verificar se a soma de dois vetores em \( W \) também está em \( W \). Se \( (x_1, y_1, z_1) \) e \( (x_2, y_2, z_2) \) estão em \( W \), então \( z_1 = x_1^2 + y_1^2 \) e \( z_2 = x_2^2 + y_2^2 \). A soma é \( (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2) \). Para que este vetor esteja em \( W \), precisamos que \( z_1 + z_2 = (x_1 + x_2)^2 + (y_1 + y_2)^2 \). Isso não é verdade em geral, então \( W \) não é fechado sob adição. 3. Fechamento sob multiplicação escalar: Para um vetor \( (x, y, z) \in W \) e um escalar \( c \), precisamos verificar se \( (cx, cy, cz) \) está em \( W \). Temos \( z = x^2 + y^2 \), então \( cz = c(x^2 + y^2) \). Para que \( (cx, cy, cz) \) esteja em \( W \), precisamos que \( cz = (cx)^2 + (cy)^2 \), o que não é verdade em geral. Como \( W \) não satisfaz as condições de fechamento sob adição e multiplicação escalar, concluímos que \( W \) não é um subespaço de \( \mathbb{R}^3 \).