Verifique se W = {(x, y, z, t) ∈ R4;x + y = 0 e z − t = 0} é subespaço de R4.

Para verificar se \( W = \{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^4; x + y = 0 \text{ e } z - t = 0\} \) é um subespaço de \( \mathbb{R}^4 \), precisamos checar três condições: 1. Contém o vetor nulo: O vetor nulo em \( \mathbb{R}^4 \) é \( (0, 0, 0, 0) \). Verificamos: - \( 0 + 0 = 0 \) (satisfeito) - \( 0 - 0 = 0 \) (satisfeito) Portanto, o vetor nulo está em \( W \). 2. Fechamento sob adição: Se \( u = (x_1, y_1, z_1, t_1) \) e \( v = (x_2, y_2, z_2, t_2) \) estão em \( W \), então: - \( x_1 + y_1 = 0 \) e \( z_1 - t_1 = 0 \) - \( x_2 + y_2 = 0 \) e \( z_2 - t_2 = 0 \) Agora, consideramos \( u + v = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, t_1 + t_2) \): - \( (x_1 + x_2) + (y_1 + y_2) = (x_1 + y_1) + (x_2 + y_2) = 0 + 0 = 0 \) (satisfeito) - \( (z_1 + z_2) - (t_1 + t_2) = (z_1 - t_1) + (z_2 - t_2) = 0 + 0 = 0 \) (satisfeito) Portanto, \( u + v \in W \). 3. Fechamento sob multiplicação escalar: Se \( u = (x, y, z, t) \in W \) e \( c \) é um escalar, então: - \( x + y = 0 \) e \( z - t = 0 \) Consideramos \( cu = (cx, cy, cz, ct) \): - \( cx + cy = c(x + y) = c \cdot 0 = 0 \) (satisfeito) - \( cz - ct = c(z - t) = c \cdot 0 = 0 \) (satisfeito) Portanto, \( cu \in W \). Como todas as condições são satisfeitas, podemos concluir que \( W \) é um subespaço de \( \mathbb{R}^4 \).