Para determinar a dimensão e uma base do conjunto de vetores \( C \) em \( \mathbb{R}^5 \), precisamos verificar a linearidade dos vetores e encontrar um conjunto de vetores linearmente independentes que gerem o mesmo espaço. Vamos analisar as alternativas: a) O conjunto \(\{(1,-3,0,4,1), (0,5,1,0,2), (3,-1,2,0,4)\}\) é uma base do gerado de \( C \), que é um subespaço de dimensão 3. - Para ser uma base, os vetores devem ser linearmente independentes e gerar o espaço. Precisamos verificar isso. b) \( C \) é linearmente independente e, portanto, uma base de um subespaço de dimensão 5; logo, o gerado de \( C \) é o próprio \( \mathbb{R}^5 \. - Para que isso seja verdade, os 5 vetores devem ser linearmente independentes. Isso é improvável, pois temos 5 vetores em \( \mathbb{R}^5 \). c) O conjunto \(\{(1,-3,0,4,1)\}\) é uma base do gerado de \( C \), que é um subespaço de dimensão 1. - Isso só seria verdade se todos os outros vetores fossem combinações lineares desse vetor, o que deve ser verificado. d) O conjunto \(\{(1,-3,0,4,1), (-3,-4,1,2,1)\}\) é uma base do gerado de \( C \), que é um subespaço de dimensão 2. - Precisamos verificar se esses dois vetores são linearmente independentes. e) O conjunto \(\{(1,-3,0,4,1), (-3,-4,1,2,1), (0,5,1,0,2), (3,-1,2,0,4)\}\) é uma base do gerado de \( C \), que é um subespaço de dimensão 4. - Isso implica que 4 vetores são linearmente independentes. Após a análise, a opção que parece mais plausível, considerando que temos 5 vetores e a possibilidade de linearidade, é a alternativa a, que sugere que um conjunto de 3 vetores é uma base e que a dimensão do espaço gerado é 3. Portanto, a resposta correta é: a. O conjunto {(1,-3,0,4,1), (0,5,1,0,2), (3,-1,2,0,4)} é uma base do gerado de C, que é um subespaço de dimensão 3.