Para que a equação \(x² + y² + z² - 6x - 4y + 2z + k = 0\) represente uma superfície esférica, precisamos reescrevê-la na forma padrão da equação de uma esfera, que é \((x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²\), onde \((a, b, c)\) é o centro da esfera e \(r\) é o raio. Primeiro, vamos completar o quadrado para as variáveis \(x\), \(y\) e \(z\): 1. Para \(x\): \[ x² - 6x = (x - 3)² - 9 \] 2. Para \(y\): \[ y² - 4y = (y - 2)² - 4 \] 3. Para \(z\): \[ z² + 2z = (z + 1)² - 1 \] Substituindo tudo na equação original, temos: \[ (x - 3)² - 9 + (y - 2)² - 4 + (z + 1)² - 1 + k = 0 \] Simplificando: \[ (x - 3)² + (y - 2)² + (z + 1)² + k - 14 = 0 \] Ou seja: \[ (x - 3)² + (y - 2)² + (z + 1)² = 14 - k \] Para que essa equação represente uma esfera, o lado direito deve ser positivo, ou seja: \[ 14 - k > 0 \implies k < 14 \] Portanto, a condição sobre \(k\) para que a equação represente uma superfície esférica é: k < 14. A alternativa correta é: k < 14.