para que valores reais de m a área do triângulo determinado pelos vetores u=(m,1,-1) e v=(0,2,2) é igual a 3.u.a

Para encontrar os valores reais de \( m \) para os quais a área do triângulo determinado pelos vetores \( \mathbf{u} = (m, 1, -1) \) e \( \mathbf{v} = (0, 2, 2) \) é igual a \( 3 \cdot u \cdot a \), precisamos primeiro calcular a área do triângulo. A área \( A \) do triângulo formado por dois vetores \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \) é dada por: \[ A = \frac{1}{2} \|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| \] Primeiro, calculamos o produto vetorial \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \): \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ m & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante, temos: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{i}(1 \cdot 2 - (-1) \cdot 2) - \mathbf{j}(m \cdot 2 - (-1) \cdot 0) + \mathbf{k}(m \cdot 2 - 1 \cdot 0) \] \[ = \mathbf{i}(2 + 2) - \mathbf{j}(2m) + \mathbf{k}(2m) \] \[ = 4\mathbf{i} - 2m\mathbf{j} + 2m\mathbf{k} \] Agora, calculamos a norma do vetor resultante: \[ \|\mathbf{u} \times \mathbf{v}\| = \sqrt{4^2 + (-2m)^2 + (2m)^2} = \sqrt{16 + 4m^2 + 4m^2} = \sqrt{16 + 8m^2} \] Assim, a área do triângulo é: \[ A = \frac{1}{2} \sqrt{16 + 8m^2} \] Queremos que essa área seja igual a \( 3 \cdot u \cdot a \). Se considerarmos \( u \cdot a \) como uma constante \( k \), temos: \[ \frac{1}{2} \sqrt{16 + 8m^2} = 3k \] Multiplicando ambos os lados por 2: \[ \sqrt{16 + 8m^2} = 6k \] Elevando ao quadrado: \[ 16 + 8m^2 = 36k^2 \] Isolando \( m^2 \): \[ 8m^2 = 36k^2 - 16 \] \[ m^2 = \frac{36k^2 - 16}{8} \] \[ m^2 = \frac{9k^2 - 4}{2} \] Assim, os valores de \( m \) são: \[ m = \pm \sqrt{\frac{9k^2 - 4}{2}} \] Portanto, para encontrar os valores reais de \( m \), precisamos que \( 9k^2 - 4 \geq 0 \), ou seja, \( k^2 \geq \frac{4}{9} \). Assim, os valores de \( m \) dependem do valor de \( k \).