Para calcular a área do paralelogramo determinado pelos vetores \( \mathbf{u} = (1, 1, 3) \) e \( \mathbf{v} = (-4, 2, 2) \), utilizamos o produto vetorial. A área \( A \) do paralelogramo é dada pela magnitude do produto vetorial dos dois vetores: \[ A = ||\mathbf{u} \times \mathbf{v}|| \] Primeiro, calculamos o produto vetorial \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \): \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ -4 & 2 & 2 \end{vmatrix} \] Calculando o determinante: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} \] Calculando os determinantes: 1. Para \( \mathbf{i} \): \( 1 \cdot 2 - 3 \cdot 2 = 2 - 6 = -4 \) 2. Para \( \mathbf{j} \): \( 1 \cdot 2 - 3 \cdot (-4) = 2 + 12 = 14 \) (lembre-se de trocar o sinal) 3. Para \( \mathbf{k} \): \( 1 \cdot 2 - 1 \cdot (-4) = 2 + 4 = 6 \) Assim, temos: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (-4, -14, 6) \] Agora, calculamos a magnitude: \[ ||\mathbf{u} \times \mathbf{v}|| = \sqrt{(-4)^2 + (-14)^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 196 + 36} = \sqrt{248} \] Simplificando \( \sqrt{248} \): \[ \sqrt{248} = \sqrt{4 \cdot 62} = 2\sqrt{62} \] Portanto, a área do paralelogramo é \( 2\sqrt{62} \) u.a. A alternativa correta é: B) 2sqrt(62) u.a.